Инструкция
1
Пусть на плоскости заданы два ненулевых вектора, отложенные от одной точки: вектор A с координатами (x1, y1) и вектор B с координатами (x2, y2). Угол между ними обозначен как θ. Чтобы найти градусную меру угла θ необходимо воспользоваться определением скалярного произведения.
2
3
Скалярное произведение можно найти также по формуле (A,B)=x1*x2+y1*y2, так как скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. Если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то векторы являются перпендикулярными (угол между ними равен 90 градусов) и дальнейшие вычисления можно не производить. Если скалярное произведение двух векторов положительно, то угол между этими векторами острый, а если отрицательно, то угол тупой.
4
Теперь посчитайте длины векторов A и B по формулам: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Длина вектора вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.
5
Найденные значения скалярного произведения и длин векторов подставьте в полученную в шаге 2 формулу для нахождения косинуса угла, то есть cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+√(x2²+y2²)). Теперь, зная значение косинуса, чтобы найти градусную меру угла между векторами нужно воспользоваться таблицей Брадиса или взять из этого выражения арккосинус: θ=arccos(cos(θ)).
6
Если векторы A и B заданы в трехмерном пространстве и имеют координаты (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) соответственно, то при нахождении косинуса угла добавляется еще одна координата. В этом случае косинус угла равен: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).
Полезный совет
Если два вектора отложены не от одной точки, то для нахождения угла между ними параллельным переносом нужно совместить начала этих векторов.
Угол между двумя векторами не может быть больше 180 градусов.
Угол между двумя векторами не может быть больше 180 градусов.
Источники:
- как вычислить угол между векторами
- Угол между прямой и плоскостью