Как найти уравнение биссектрисы

Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные своими уравнениями. Требуется найти уравнение прямой, которая, проходя через точку пересечения этих двух прямых, делила бы точно пополам угол между ними, то есть являлась бы биссектрисой.

Инструкция

1. Предположим, что прямые заданы своими каноническими уравнениями. Тогда A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0. При этом A1/B1 ≠ A2/B2, иначе прямые параллельны и задача не имеет смысла.
2. Поскольку очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют между собой четыре попарно равных угла, то должны существовать ровно две прямые, удовлетворяющие условию задачи.
3. Эти прямые будут перпендикулярны друг другу. Доказательство этого утверждения достаточно просто. Сумма четырех углов, образованных пересекающимися прямыми, будет всегда равна 360°. Поскольку углы попарно равны, то эту сумму можно представить в виде:
   2a + 2b = 360° или, что очевидно, a + b = 180°.
   Поскольку первая из искомых биссектрис делит пополам угол a, а вторая — угол b, то угол между самими биссектрисами всегда равен a/2 + b/2 = (a + b)/2 = 90°.
4. Биссектриса, по определению, делит угол между прямыми пополам, а значит, для любой точки, лежащей на ней, расстояния до обеих прямых будут одинаковыми.
5. Если прямая задана каноническим уравнением, то расстояние от нее до некоторой точки (x0, y0), не лежащей на этой прямой:
   d = |(Ax0 + By0 + C)/(√(A^2 + B^2))|.
   Следовательно, для любой точки, лежащей на искомой биссектрисе:
   |(A1*x + B1*y + C1)/√(A1^2 + B1^2)| = |(A2*x + B2*y + C2)/√(A2^2 + B2^2)|.
6. Из-за того, что в обеих частях равенства стоят знаки модуля, оно описывает сразу обе искомые прямые. Чтобы превратить его в уравнение только одной из биссектрис, нужно раскрыть модуль либо со знаком +, либо со знаком -.
   Таким образом, уравнение первой биссектрисы:
   (A1*x + B1*y + C1)/√(A1^2 + B1^2) = (A2*x + B2*y + C2)/√(A2^2 + B2^2).
   Уравнение второй биссектрисы:
   (A1*x + B1*y + C1)/√(A1^2 + B1^2) = -(A2*x + B2*y + C2)/√(A2^2 + B2^2).
7. Например, пусть заданы прямые, определенные каноническими уравнениями:
   2x + y -1 = 0,
   
   x + 4y = 0.
   Уравнение их первой биссектрисы получается из равенства:
   (2x + y -1)/√(2^2 + 1^2) = (x + 4y + 0)/√(1^2 + 4^2), то есть
   (2x + y - 1)/√5 = (x + 4y)/√15.
   Раскрывая скобки и переводя уравнение в канонический вид:
   (2*√3 - 1)*x + (√3 - 4)*y - √3 = 0.