Как найти расстояние между прямыми на плоскости

Прямая на плоскости однозначно задается двумя точками этой плоскости. Под расстояниями между двумя прямыми понимают длину кратчайшего отрезка между ними, то есть длину их общего перпендикуляра. Кратчайший совместный перпендикуляр для двух заданных прямых является постоянной величиной. Таким образом, чтобы ответить на вопрос поставленной задачи, надо иметь в виду, что отыскивается расстояние между двумя заданными параллельными прямыми находится на заданной плоскости. Казалось бы, что нет ничего проще: взять произвольную точку на первой прямой и опустить из нее перпендикуляр на вторую. Циркулем и линейкой сделать это элементарно. Однако это всего лишь иллюстрация предстоящего решения, которое подразумевает точное вычисление длины такого совместного перпендикуляра.

Вам понадобится

• - ручка;
• - бумага.

Инструкция

1. Для решения поставленной задачи необходимо использовать методы аналитической геометрии, прикрепив плоскость и прямые к системе координат, что позволит не только точно рассчитать необходимое расстояние, но и уйти от поясняющих иллюстраций.
   Основные уравнения прямой на плоскости имеют следующий вид.
   1. Уравнение прямой, как графика линейной функции: y=kx+b.
   2. Общее уравнение: Ax+By+D=0 (здесь n={A,B} – вектор нормали к этой прямой).
   3. Каноническое уравнение: (x-x0)/m = (y-y0)/n.
   Здесь (x0, yo) – любая точка, лежащая на прямой; {m, n}=s – координаты ее направляющего вектора s.
   Очевидно, что если идет поиск перпендикулярной прямой, заданной общим уравнением, то s=n.
2. Пусть первая из параллельных прямых f1 задана уравнением y=kx+b1. Переведя выражение в общий вид, у вас получится kx-y+b1=0, то есть A=k, B=-1. Нормалью к ней будет n={k, -1}.
   Теперь следует взять произвольную абсциссу точки х1 на f1. Тогда ее ордината y1=kx1+b1.
   Пусть уравнение второй из параллельных прямых f2 будет иметь вид:
   у=kx+b2 (1),
   где k одинаково для обеих прямых, в силу их параллельности.
3. Далее вам необходимо составить каноническое уравнение линии перпендикулярной как f2, так и f1, содержащей точку М (x1, y1). При этом полагают, что х0=х1, y0=y1, S={k, -1}. В результате у вас должно получится следующее равенство:
   (x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).
4. Решив систему уравнений, состоящую из выражений (1) и (2), вы найдете вторую точку, определяющую искомое расстояние между параллельными прямыми N(x2, y2). Само искомое расстояние будет равно d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.
5. Пример. Пусть уравнения заданных параллельных прямых на плоскости f1 – у=2x +1 (1);
   f2 – y=2x+5 (2). Берем произвольную точку х1=1 на f1. Тогда y1=3. Первая точка, таким образом будет иметь координаты M (1,3). Уравнение общего перпендикуляра (3):
   (х-1)/2 = -y+3 или y=-(1/2)x+5/2.
   Подставив это значение y в (1), можно получить:
   -(1/2)x+5/2=2х+5, (5/2)х=-5/2, х2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2=3.
   Второе основание перпендикуляра находится в точке с координатами N (-1, 3). Расстояние между параллельными прямыми составит:
   d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.