Как найти точку пересечения прямых

Точку пересечения прямых можно примерно определить по графику. Однако нередко нужны точные координаты этой точки или график строить не требуется, тогда можно найти точку пересечения, зная только уравнения прямых.

Инструкция

1. Пусть две прямые заданы общими уравнениями прямой: A1*x + B1*y + C1 = 0 и A2*x + B2*y + C2 = 0. Точка пересечения принадлежит и одной прямой, и другой. Выразим из первого уравнения прямой x, получим: x = -(B1*y + C1)/A1. Подставим полученное значение во второе уравнение: -A2*(B1*y + C1)/A1 + B2*y + C2 = 0. Или -A2B1*y - A2C1 + A1B2*y + A1C2 = 0, отсюда y = (A2C1 - A1C2)/(A1B2 - A2B1). Подставим найденное значение в уравнение первой прямой: A1*x + B1(A2C1 - A1C2)/(A1B2 - A2B1) + C1 = 0.
   A1(A1B2 - A2B1)*x + A2B1C1 - A1B1C2 + A1B2C1 - A2B1C1 = 0
   (A1B2 - A2B1)*x - B1C2 + B2C1 = 0
   Тогда x = (B1C2 - B2C1)/(A1B2 - A2B1).
2. В школьном курсе математики прямые часто задаются уравнением с угловым коэффициентом, рассмотрим этот случай. Пусть две прямые заданы таким образом: y1 = k1*x + b1 и y2 = k2*x + b2. Очевидно, что в точке пересечения y1 = y2, тогда k1*x + b1 = k2*x + b2. Получаем, что ордината точки пересечения x = (b2 - b1)/(k1 - k2). Подставим x в любое уравнение прямой и получим y = k1(b2 - b1)/(k1 - k2) + b1 = (k1b2 - b1k2)/(k1 - k2).