Как определить расстояние от точки до плоскости

Определение расстояния от точки до плоскости - одна из распространенных задач школьной планиметрии. Как известно, наименьшим расстоянием от точки до плоскости будет перпендикуляр, проведенный из этой точки к данной плоскости. Поэтому длина этого перпендикуляра и принимается за расстояние от точки до плоскости.

Вам понадобится

• уравнение плоскости

Инструкция

1. В трехмерном пространстве можно определить декартову систему координат с осями X,Y и Z. Тогда у любой точки в этом пространстве всегда будут определены координаты x, y и z. Пусть задана точка с координатами x0, y0, z0.
   Уравнение плоскости выглядит так: ax+by+cz+d = 0.
2. Расстояние от заданной точки до заданной точки, то есть длина перпендикуляра, находится по формуле: r = |ax0+by0+cz0+d|/sqrt((a^2)+(b^2)+(c^2)). Справедливость этой формулы можно доказать с помощью параметрических уравнений прямой, либо с помощью скалярного произведения векторов.
3. Существует также понятие отклонения точки от плоскости. Плоскость можно задать нормированным уравнением: x*cos?+y*cos?+z*cos?-p = 0, где p - расстояние от плоскости до начала координат. В нормированном уравнении заданы направляющие косинусы вектора N = (a, b, c), перпендикулярному плоскости, где a, b, c - константы, определяющие уравнение плоскости.
   Отклонение точки M с координататами x0, y0 и z0 от плоскости, заданной нормированным уравнением, записывается в виде: ? = x0*cos?+y0*cos?+z0*cos?-p. ?>0, если точка M и начало координат лежат по разные стороны плоскости, иначе ?<0.
   Расстояние от точки до плоскости равно r = |?|.