Как можно задать плоскость

Существует множество способов задать одну и ту же плоскость в пространстве - с использованием координат точек в различных координатных системах, указанием общих, канонических или параметрических уравнений плоскости. Можно для этой цели использовать векторы, уравнения прямых и кривых линий, а также разные комбинации всех перечисленных вариантов. Ниже приведено лишь несколько наиболее часто используемых способов.

Инструкция

1. Задайте плоскость указанием координат трех несовпадающих точек, принадлежащих к множеству точек, составляющему плоскость. Обязательное условие, которое при этом должно быть выполнено - указанные точки не должны лежать на одной прямой. Например, вы смело можете утверждать, что существует плоскость, которая однозначно определяется точками с координатами A(8,13,2) B(1,4,7) C(-3,5,12).
2. Более широко используется другой способ - задание плоскости с помощью уравнения. В общем виде оно выглядит так: Ax + By + Cz + D = 0. Коэффициенты A, B, C, D можно рассчитать по координатам точек, составив матрицы для каждого из них и вычислив определители. В каждую строку матрицы для коэффициента A поместите три координаты трех точек, в которых все абсциссы заменены единицей. Для коэффициентов B и C единицами надо заменять, соответственно, ординату и аппликату, а для матрицы коэффициента D ничего менять не нужно. Рассчитав детерминант каждой матрицы, подставьте их в общее уравнение плоскости, поменяв при этом знак коэффициента D. Например, для приведенного в предыдущем шаге примера формула должна иметь такой вид: -50*x + 15*y - 43*z + 291 = 0.
3. Для задания плоскости вместо трех точек можно использовать одну точку и прямую, так как две точки в пространстве однозначно определяют единственную прямую. Чтобы использовать этот способ, точку указывайте ее трехмерными координатами, а прямую - уравнением. В общем виде уравнение пишется так: Ax + By + C = 0. Для использованного выше примера плоскость можно задать координатами точки C(-3,5,12) и уравнением прямой 2x - y + z - 5 = 0 - оно получено из координат точек A и B.
4. Вместо уравнения прямой координаты точки можно дополнить координатами нормального вектора - эта пара данных тоже задаст единственно возможную плоскость. Для плоскости из примеров предыдущих шагов такую пару может составить точка A с координатами (8,13,2) и вектор ō(-50,15,-43).
5. Можно задать плоскость и парой пересекающихся или параллельных прямых. В этом случае приведите их стандартные или канонические уравнения. Для все того же примера можно задать плоскость парой уравнений прямых, на которых лежат пары точек A,B и A,C: 2x - y + z - 5 = 0 и -18x + 11y - 11z - 19 = 0.