Как найти базис системы

Базисом системы векторов называют упорядоченную совокупность линейно независимых векторов e₁, e₂, …, en линейной системы X размерности n. Универсального решение задачи по нахождению базиса конкретной системы не существует. Можно сначала вычислить его, а затем доказать существование.

Вам понадобится

• бумага, ручка

Инструкция

1. Выбор базиса линейного пространства можно осуществить при помощи второй ссылки, приведенной после статьи. Искать универсальный ответ не стоит. Подберите систему векторов, а затем приведите доказательство ее пригодности в качестве базиса. Не пробуйте делать это алгоритмически, в данном случае надо идти другим путем.
2. Произвольное линейное пространство, по сравнению с пространством R³, не богато свойствами. Произведите сложение или умножение вектора на число R³. Можно пойти следующим путем. Измерьте длины векторов и углы между ними. Вычислите величину площади, объемы и расстояние между объектами пространства. Затем выполните следующие манипуляции. Наложите на произвольное пространство склярное произведение векторов x и у ((x,y)=x₁y₁+x₂y₂ +…+ xnyn). Теперь его можно назвать Евклидовым. Оно представляет огромную практическую ценность.
3. В произвольном по размерности базисе введите понятие ортогональности. Если склярное произведение векторов x и y равно нулю, значит они ортогональны. Такая система векторов является линейно независимой.
4. Ортогональные функции в общем случае являются бесконечномерными. Поработайте с Евклидовым функциональным пространством. Разложите по ортогональному базису e₁(t), e₂(t),e₃(t), … вектора (функции) х(t). Внимательно изучите результат. Найдите коэффициент λ (координат вектора х). Для этого коэффициент Фурье умножьте на вектор еĸ (см. рисунок). Полученную в результате вычислений формулу можно назвать функциональным рядом Фурье по системе ортогональных функций.
   
5. Изучите систему функций 1, sint, cost, sin2t, cos2t, …, sinnt, cosnt, …. Определите ортогональна ли она на на на [-π, π]. Выполните проверку. Для этого вычислите склярные произведения векторов. Если результат проверки доказывает ортогональность этой тригонометрической системы, то она является базисом в пространстве C[-π, π].