Как вычислить ранг матрицы

Если в любой матрице A взять произвольные k строк и столбцов и составить из элементов этих строк и столбцов подматрицу размера k на k, то такая подматрица называется минором матрицы A. Количество строк и столбцов в наибольшем таком миноре, отличном от нуля, называется рангом матрицы.

Инструкция

1. Для матриц небольшого размера можно вычислить ранг методом перебора всех миноров. В общем случае это затруднительно и удобно пользоваться методом приведения матрицы к треугольному виду. Треугольный вид - такая разновидность матрицы, при которой под главной диагональю матрицы стоят только нулевые элементы. После приведения к треугольному виду достаточно подсчитать количество ненулевых строк или столбцов (смотря чего из них окажется меньше). Это число и будет рангом матрицы.
2. В примере рассматривается прямоугольная матрица размерности 3 на 4. Уже на этом этапе понятно, что ранг не будет выше 3, так как наименьшая из размерностей равна 3.
3. Теперь надо, используя элементарные операции, обнулить первый столбец матрицы, оставив ненулевым только первый элемент в нем. Для этого умножьте первую строку на 2 и вычтите поэлементно из второй строки, результат запишите во вторую строку. Умножьте первую строку на -1 и вычтите из третьей строки, чтобы обнулить первый элемент третьей строки.
4. Осталось обнулить второй элемент третьей строки, чтобы получить нулевые элементы ниже главной диагонали матрицы. Для этого из третьей строки вычтите вторую. В данном случае элемент [3;3] матрицы также стал равным нулю, это случайность, добиваться нулей на главной диагонали специально не нужно.Нулевых строк и столбцов в матрице не появилось, значит ранг матрицы равен 3.