Как найти базис системы векторов

Любая упорядоченная совокупность n линейно независимых векторов e₁, e₂, …, en линейного пространства Х размерности n называется базисом этого пространства. В пространстве R³ базис образуют, например, векторы і, j k. Если x₁, x₂, …, xn – элементы линейного пространства, то выражение α₁x₁+ α₂x₂+ …+ αnxn называется линейной комбинацией этих элементов.

Инструкция

1. Ответ на вопрос о выборе базиса линейного пространства можно посмотреть в первом приведенном источнике дополнительных сведений. В первую очередь следует запомнить, что универсального ответа нет. Систему векторов можно подобрать и затем доказать, что она пригодна к использованию в качестве базиса. Алгоритмически этого сделать нельзя. Поэтому самые известные базисы появлялись в науке не столь часто.
2. Произвольное линейное пространство не так богато свойствами, как пространство R³. Помимо операций сложения векторов и умножения вектора на число в R³ можно производить измерения длин векторов, углов между ними, а также вычислять расстояния между объектами пространства, площади, объемы. Если на произвольное линейное пространство наложить дополнительную структуру (x,y)=x₁y₁+x₂y₂ +…+ xnyn, которая называется скалярным произведением векторов x и у, то оно будет называться евклидовым (Е). Именно такие пространства и представляют практическую ценность.
3. Cледуя аналогиям пространства Е³, вводится понятие ортогональности в произвольном по размерности базисе. Если скалярное произведение векторов х и у (х,у)=0, то эти векторы ортогональны.
   
   В С[a,b] (так обозначается пространство непрерывных на [a,b] функций) скалярное произведение функций вычисляется с помощью определенного интеграла от их произведения. Пи этом функции ортогональны на [a,b], если ∫[a,b] φі(t)φј(t)dt=0, i≠j (формула дублирована на рис. 1а). Ортогональная система векторов является линейно независимой.
4. Введенные в рассмотрение функции приводят к линейным функциональным пространствам. Считайте их ортогональными. В общем случае такие пространства являются бесконечномерными. Рассмотрите разложение по ортогональному базису e₁(t), e₂(t),e₃(t), … вектора (функции) х(t) евклидова функционального пространства (см. рис. 1b). Для нахождения коэффициентов λ (координат вектора х), обе части первой на рис. 1b формулы были скалярно умножены на вектор еĸ. Они называются коэффициентами Фурье. Если окончательный ответ представить в виде выражения, приведенного на рис. 1в, то получится функциональный ряд Фурье по системе ортогональных функций.
   
5. Рассмотрите систему тригонометрических функций 1, sint, cost, sin2t, cos2t, …, sinnt, cosnt, … Убедитесь в том, что эта система ортогональна на [-π, π]. Это можно сделать простой проверкой. Поэтому в пространстве C[-π, π] тригонометрическая система функций является ортогональным базисом. Тригонометрический ряд Фурье составляет основу теории спектров радиотехнических сигналов.