Как решать однородные системы линейных уравнений

Однородная система линейных уравнений подразумевает тот факт, что свободный член каждого уравнения в системе равен нулю. Таким образом, данная система представляет собой линейные комбинации.

Вам понадобится

• Учебник по высшей математике, лист бумаги, шариковая ручка.

Инструкция

1. В первую очередь, обратите внимание на то, что любая однородная система уравнений всегда совместна, что означает, что она всегда имеет решение. Это обосновывается самим определением однородности данной системы, а именно нулевым значением свободного члена.
2. Одним из тривиальных решений такой системы является нулевое решение. Чтобы убедиться в этом, подставьте нулевые значения переменных и посчитайте общую сумму в каждом уравнении. Вы получите правильное тождество. Так как свободные члены системы равны нулю, то нулевые значения переменных уравнений составляют одно из множества решений.
3. Выясните, существуют ли другие решения у данной системы уравнений. Для этой цели вам необходимо записать матрицу системы. Матрица системы уравнений состоит из коэффициентов. стоящих перед переменными. Номер матричного элемента содержит в себе, во-первых, номер уравнения, во-вторых, номер переменной. По данному правилу можно определить, в какое место матрицы необходимо поставить коэффициент. Заметьте, что в случае решения однородной системы уравнений нет необходимости записывать матрицу свободных членов, ибо она равняется нулю.
4. Приведите матрицу системы к ступенчатому виду. Этого можно достигнуть, применяя элементарные матричные преобразования, заключающиеся в суммировании или вычитании строк, а также в умножении строк на некоторое число. Все перечисленные операции не влияют на результат решения, а просто позволяют записать матрицу в удобном виде. Ступенчатость матрицы означает, что все элементы, располагающиеся ниже главной диагонали, должны быть равны нулю.
5. Запишите новую матрицу, полученную в результате эквивалентных преобразований. Перепишите систему уравнений, исходя из знаний новых коэффициентов. Вы должны получить в первом уравнении количество членов линейной комбинации, равное общему количеству переменных. Во втором уравнении количество членов должно быть на единицу меньше, чем в первом. Самое последнее уравнение системы должно содержать только одну переменную, что позволяет найти ее значение.
6. Определите значение последней переменной из последнего уравнения. Далее подставьте данное значение в предыдущее уравнение, обнаруживая таким образом значение предпоследней переменной. Продолжая данную процедуру раз за разом, переходя от одного уравнения к другому, вы найдете значения всех необходимых переменных.