Инструкция
1
К ответу на вопрос следует подходить на основе рассмотрения простейших задач, для решения которых могут потребоваться характеристические уравнения. Прежде всего – это решение нормальной однородной системы однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ). Ее вид приведен на рисунке 1.Учитывая обозначения, приведенные на рис. 1. Перепишите систему в матричном виде.Получите Y’=AY.
2
Известно, что фундаментальная система решений (ФСР), рассматриваемой задачи, находится в виде Y=exp[kx]B, где В - столбец постоянных. Тогда Y’=kY. Возникает система АY-kEY=0 (E – единичная матрица). Или (А-kE)Y=0. Требуются найти ненулевые решения, поэтому эта система однородных уравнений имеет вырожденную матрицу и, соответственно, определитель такой матрицы равен нулю. В развернутом виде данный определитель (см. рис. 2).На рис. 2 в виде определителя записано алгебраическое уравнение n-го порядка и его решения позволяют составить ФСР исходной системы. Это уравнение названо характеристическим.
3
Теперь рассмотрите ЛОДУ n-го порядка (cм. рис. 3).Если левую его часть обозначить как линейный дифференциальный оператор L[y], то ЛОДУ перепишется в виде L[y]=0. Если искать решения ЛОДУ в виде y=exp(kx), то y’=kexp(kx), y’’=(k^2)exp(kx), …, y^(n-1)=(k^(n-1))exp(kx), y^n=(k^n)exp(kx) и, после сокращения на y=exp(kx), получится уравнение: k^n+(a1)k^(n-1)+…+a(n-1)k+an=0, которое также называется характеристическим.
4
Для того чтобы убедиться, что суть последнего характеристического уравнения осталась прежней (то есть что это не какой-то иной объект), перейдите от ЛОДУ n-го порядка к нормальной системе ЛОДУ путем последовательных подстановок. Первая из них y1=y, а далееy1’=y2, y2’1=y3, …, y(n-1)’ = yn, yn’=-an*y1-a(n-2)*yn-…-a1*y(n-1).
5
Запишите возникшую систему, составьте ее характеристическое уравнение в виде определителя, раскройте его и убедитесь в том, что получилось характеристическое уравнений для ЛОДУ n-го порядка. Заодно возникает и утверждение о фундаментальном смысле характеристического уравнения.
6
Перейдите к общей задаче поиска собственных чисел линейных преобразований (они могут быть и дифференциальными), что включает в себя стадию составления характеристического уравнения. Число k называют собственным значением (числом) линейного преобразования А, если существует вектор х такой, что Ax=kx.Поскольку каждому линейному преобразованию однозначно может быть поставлена его матрица, то задача сводится к составлению характеристического уравнения для некоторой квадратной матрицы. Делается это в точности так как и в начальном примере для нормальных систем ЛОДУ. Просто замените символы y на х, если после записи характеристического уравнения последуют еще какие-то действия. Если же нет, то этого делать не стоит. Просто берите матрицу А (см. рис. 1) и записывайте ответ в виде определителя (см. рис.2). После раскрытия определителя работа завершена.
