Как решить систему линейных уравнений

Заданный вопрос полностью покрывает основную цель целого курса «Линейная алгебра». Поэтому ответ можно дать только в сжатом виде, без подробных выкладок и пояснений. В целом же линейные уравнения интересны тем, что решать их возможно чисто алгоритмическими методами.

Инструкция

1. Система т линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид (см. рис. 1).
   В ней аij – коэффициенты системы, хj – неизвестные, bi – свободные члены (i=1, 2, ... , т; j=1, 2, ... , п). Практический смысл такая система имеет в том случае, когда число ее уравнений не превышает число неизвестных, то есть при m≤n. Дело в том, что в противном случае «лишние» уравнения должны являться линейной комбинацией остальных. Это означает, что они их просто повторяют. Если нет, то и решение не существует (система не совместна).
   
2. Компактно такую систему можно записывать в матричной форме АХ=B. Здесь А – матрица коэффициентов системы, Х – матрица- столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов (см. рис 2). Если m=n, т.е. есть количество неизвестных и число уравнений одинаково, то матрица А квадратная. Потому для нее определено понятие определителя матрицы ∆=|A|. При |A|≠0 существует обратная матрица A⁻¹. Ее определение базируется на равенстве АA⁻¹= A⁻¹A=E (E – единичная матрица). Формула для вычисления обратной матрицы также присутствует на рисунке 2. Следует лишь добавить, что элементы Aij присоединенной матрицы Ã, называемые алгебраическими дополнениями элементов aij матрицы А вычисляются следующим образом. Возьмите определитель |A|и вычеркните из него строку и столбец, на котором находится элемент aij. Оставшиеся коэффициенты запишите в виде нового определителя, который умножьте на (-1), если i+j не четно. Соответствующее число равно Aij. Алгебраические дополнения записываются по столбцам присоединенной матрицы.
   
3. Найдите решение системы матричным способом. Для этого обе части системы AX=B умножьте на A⁻¹ слева. Получите (A⁻¹A)X=A⁻¹B, EX=A⁻¹B или X=A⁻¹B. Все подробности проиллюстрированы на рис. 3. На этом же рисунке приведена формула вычисления определителя коэффициентов Разложением по i-му столбцу А. Упомянутые подробности приводят к выводу о том, что при решении систем большой размерности матричным способом лучше не пользоваться. Можно просто «утонуть» в вычислениях громадного числа алгебраических дополнений (если не создавать соответствующие программы). Оправдан это метод, пожалуй, лишь для систем второго порядка, так как для определителя этого порядка А₁₁=а₂₂, А₁₂=-а₂₁, А₂₁=-а₁₂, А₂₂=а₁₁. Это легко запомнить. А вот далее… В прочем, это уже на любителя.
   
4. Настала пора самого, пожалуй, известного и предельно простого метода Крамера. Присмотритесь повнимательнее к выражению для определения неизвестной xi на предыдущем шаге. Что получится, если вместо элементов столбца B, поставить элементы i-го столбца матрицы коэффициентов А (для наглядности это было отображено на рисунке 3). Получится теорема разложения для вычисления определителя |A|=∆ по i-му столбцу матрицы А. Поэтому xi =∆i/∆. Определитель ∆ матрицы коэффициентов называют главным, а ∆i вспомогательным. Для каждой неизвестной вспомогательный определитель находят с помощью замены i-го столбца главного определителя на столбец свободных членов. Подробно метод Крамера для случая системы третьего порядка представлен на рисунке 4.
   
5. Наиболее общим способом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Здесь число уравнений может быть и меньшим числа неизвестных, m≤n. Метод уже был детально описан в тематике КакProsto.ru. Для того, чтобы обратиться к нему, используйте первый источник из дополнительных сведений.