Инструкция
1
Конечно в наш современный век такими элементарными фигурами на плоскости, как треугольник и окружность трудно кого то удивить. Они давно изучены, давно выведены законы, позволяющие рассчитать все их параметры. Но иногда при решении различных задач можно столкнуться с удивительными вещами. Рассмотрим одно интересное построение. Возьмем произвольный треугольник АВС, у которого сторона АС – большая из сторон, и проделаем следующее:
2
Сначала строим окружность с центром «А» и радиусом, равным стороне треугольника «АВ». Точку пересечения окружности со стороной треугольника АС обозначим как точка «D».
3
Затем стоим окружность с центром «С» и радиусом, равным отрезку «СD». Точку пересечения второй окружности со стороной треугольника «СВ» обозначим как точка «Е».
4
Следующую окружность строим с центром «В» и радиусом, равным отрезку «ВЕ». Точку пересечения третей окружности со стороной треугольника «АВ» обозначим как точка «F».
5
Четвертую окружность строим с центром «А» и радиусом, равным отрезку «АF». Точку пересечения четвертой окружности со стороной треугольника «АС» обозначим как точка «К».
6
И последнюю, пятую окружность строим с центром «С» и радиусом «СК». В этом построении интересно следующее: вершина треугольника «В» четко попадает на пятую окружность.
7
Для верности можно попробовать повторить построение используя треугольник с другими длинами сторон и углов с одним только условием, что сторона «АС» наибольшая из сторон треугольника, и все равно пятая окружность четко попадет в вершину «В». Это означает лишь одно: она имеет радиус равный стороне «СВ», соответственно отрезок «СК» равен стороне треугольника «СВ».
8
Несложный математический анализ описанного построения, выглядит следующим образом. Отрезок «АD» равен стороне треугольника «АВ» т.к. точки «В» и «D» находятся на одной окружности. Радиус первой окружности R1 = АВ. Отрезок СD=АС-АВ, то есть радиус второй окружности: R2=АС-АВ. Отрезок «СЕ» соответственно равен радиусу второй окружности R2, значит отрезок ВЕ=ВС-(АС-АВ), значит радиус третей окружности R3=АВ+ВС-АС
Отрезок «ВF» равен радиусу третей окружности R3, отсюда отрезок АF=АВ-(АВ+ВС-АС)=АС-ВС, то есть радиус четвертой окружности R4=АС-ВС.
Отрезок «АК» равен радиусу четвертой окружности R4, отсюда отрезок СК=АС-(АС-ВС)=ВС, то есть радиус пятой окружности R5=ВС.
Отрезок «ВF» равен радиусу третей окружности R3, отсюда отрезок АF=АВ-(АВ+ВС-АС)=АС-ВС, то есть радиус четвертой окружности R4=АС-ВС.
Отрезок «АК» равен радиусу четвертой окружности R4, отсюда отрезок СК=АС-(АС-ВС)=ВС, то есть радиус пятой окружности R5=ВС.
9
Из полученного анализа можно сделать однозначный вывод, что при подобном построении окружностей с центрами в вершинах треугольника пятое построение окружности дает радиус окружности, равный стороне треугольника «ВС».
10
Продолжим дальнейшие рассуждения по поводу данного построения и определим, чему равна сумма радиусов окружностей, и вот что получим: ∑R=R1+R2+R3+R4+R5==АВ+(АС-АВ)+(АВ+ВС-АС)+(АС-ВС)+ВС. Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получим следующее: ∑R=АВ+ВС+АС
Очевидно, сумма радиусов полученных пяти окружностей с центрами в вершинах треугольника, равна периметру этого треугольника. Примечательно еще и следующее: отрезки «ВЕ», «ВF» и «КD» равны между собой и равны радиусу третей окружности R3. ВЕ=ВF=КD=R3=АВ+ВС-АС
Очевидно, сумма радиусов полученных пяти окружностей с центрами в вершинах треугольника, равна периметру этого треугольника. Примечательно еще и следующее: отрезки «ВЕ», «ВF» и «КD» равны между собой и равны радиусу третей окружности R3. ВЕ=ВF=КD=R3=АВ+ВС-АС
11
Конечно, все это имеет отношение к элементарной математике, но, возможно, имеет некоторое прикладное значение и может послужить поводом для дальнейших исследований.
