Как найти радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

В каждый треугольник, независимо от его вида, можно вписать только одну окружность. Ее центр одновременно является и точкой пересечения биссектрис. У прямоугольного треугольника есть ряд своих собственных свойств, которые необходимо учитывать при вычислении радиуса вписанной окружности. Данные в задаче могут быть указаны разные и возникает необходимость провести дополнительные расчеты.

Вам понадобится

• - прямоугольный треугольник с заданными параметрами;
• - карандаш;
• - лист бумаги;
• - линейка;
• - циркуль.

Инструкция

1. Начните с построения. Начертите треугольник с заданными размерами. Любой треугольник строится по трем сторонам, стороне и двум углам либо же двум сторонам и углу между ними. Поскольку размер одного угла задан изначально, то в условиях должны быть указаны либо два катета, либо один из катетов и один из углов, либо один катет и гипотенуза. Обозначьте треугольник как АСВ, где С — вершина прямого угла. Обозначьте противолежащие углам катеты как а и b, а гипотенузу — как с. Радиус вписанной окружности обозначьте как r.
2. Чтобы иметь возможность применить классическую формулу вычисления радиуса вписанной окружности, найдите все три стороны. Способ вычислений зависит от того, что задано в условиях. Если даны размеры всех трех сторон, вычислите полупериметр по формуле p=(a+b+c)/2. Если вам даны размеры двух катетов, найдите гипотенузу. Согласно теореме Пифагора, она равна квадратному корню из суммы квадратов катетов, то есть с=√a2+b2.
3. Когда дан один катет и угол, определите, является ли он противолежащим или прилежащим. В первом случае используйте теорему синусов, то есть найдите гипотенузу по формуле с=a/sinСАВ, во втором — считайте по теореме косинусов. В этом случае с=a/cosCBA. Выполнив расчеты, найдите полупериметр треугольника.
4. Зная полупериметр, можно вычислить радиус вписанной окружности. Он равен квадратному корню из дроби, в числителе которой стоит поизведение разностей этого полупериметра со всеми сторонами, а в знаменатели — полупериметр. То есть r=√(p-a)(p-b)(p-c)/p.
5. Обратите внимание на то, что числитель данного подкоренного выражения представляет собой площадь данного треугольника. То есть радиус можно найти и другим путем, разделив площадь на полупериметр. Так что если известны оба катета, то вычисления несколько упрощаются. Необходимо для полупериметра гипотенузу найдите по сумме квадратов катетов. Площадь сосчитайте, умножив катеты друг на друга и разделив полученное число на 2.