Как найти производную первого порядка

Понятие производной, характеризующее скорость изменения функции, является основным в дифференциальном исчислении. Производной функции f(x) в точке x0, называется следующее выражение: lim(x→x0) (f(x) – f(x0)) / (x – x0), т.е. предел к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке (f(x) – f(x0)) к соответствующему приращению аргумента (x – x0).

Инструкция

1. Чтобы найти производную первого порядка, пользуйтесь следующими правилами дифференцирования.
   
   Во-первых, на забывайте самые простые из них - производная константы равна 0, а производная переменной равна 1. Например: 5’ = 0, x’ = 1. А также помните про то, что константу можно выносить из под знака производной. Например, (3 * 2^x)’ = 3 * (2^x)’. Обратите внимание на эти простые правила. Очень часто, решая пример, можно не учесть "отдельно стоящую" переменную и не продифференцировать ее (например, в примере (x * sin x / ln x + x) это последняя переменная x).
2. Следующее правило - производная суммы: (x + y)’ = x’ + y’. Рассмотрите следующий пример. Пусть необходимо найти производную первого порядка (x^3 + sin x)’ = (x^3)’ + (sin x)' = 3*x^2 + cos x. В этом и последующих примерах после упрощения исходного выражения пользуйтесь таблицей производных функций, которую можно найти, например, в указанном дополнительном источнике. Согласно этой таблице для приведенного выше примера получилось, что производная x^3 = 3 * x^2, а производная функции sin x равна cos x.
3. Также при нахождении производной функции часто используется правило производной произведения: (x * y)’ = x’ * y + x * y’. Пример: (x^3 * sin x)’ = (x^3)’ * sin x + x^3 * (sin x)’ = 3 * x^2 sin x + x^3 * cos x. Далее в этом примере можно вынести множитель x^2 за скобки: x^2 * (3 * sin x + x * cos x). Решите более сложный пример: найдите производную выражения (x^2 + x + 1) * cos x. В данном случае действовать нужно также, только вместо первого множителя выступает квадратный трехчлен, дифференцируемый по правилу производной суммы. ((x^2 + x + 1) * cos x)’ = (x^2 + x + 1)’ * cos x + (x^2 + x + 1) * (cos x)’ = (2 * x + 1) * cos x + (x^2 + x + 1) * (- sin x).
4. Если необходимо найти производную частного двух функций, воспользуйтесь правилом производной частного: (x/y)’ = (x’y – y’x) / y^2. Пример: (sin x / e^x) = ((sin x)’ * e^x – (e^x)’ * sin x) / e^(2 * x) = (cos x * e^x - e^x * sin x) / e^(2 * x) = e^x * (cos x + sin x) / e^(2 * x) = (cos x + sin x) / e^x.
5. Пусть имеется сложная функция, например sin(x^2 + x + 1). Для того, чтобы найти ее производную, необходимо применить правило для производной сложной функции: (x (y))’ = (x (y))’ * y’. Т.е. сначала берется производная «внешней функции», и результат умножается на производную внутренней функции. В данной примере (sin(x^2 + x + 1))’ = cos (x^2 + x + 1) * (2 * x + 1).