Инструкция
1
Прежде чем искать производную функции необходимо исследовать область значений аргумента и исключить те промежутки, при которых существование функции невозможно. Например, для функции f=1/x недопустимо значение аргумента х=0, а для функции z=logа x допустимы только положительные значения аргумента.
2
Производные простых функций одного аргумента находятся по формулам дифференцирования, которые можно запомнить или при необходимости найти в таблицах производных элементарных функций. Например, производная постоянной всегда равна нулю, производная линейной функции f(x)=kx равна коэффициенту k: f'(x)=k, функция f(x)= x² имеет производную f'(x)=2x.
3
При дифференцировании действуют правила, общие для любой функции:
- постоянный множитель можно выносить за знак производной: (k*f(x))'=k*(f(x))';
- производная суммы нескольких функций одного и того же аргумента равна сумме производных этих функций: (z(x) + f(x))'=z'(x)+f'(x);
- производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую функцию и первой функции на производную второй функции: (z(x)*f(x))'=z'(x)*f(x) + z(x)*f'(x);
- производная частного двух функций выглядит так: (z/f)'= (z'*f- z*f')/f².
4
Прежде чем применять эти правила при дифференцировании сложной функции, имеет смысл попытаться упростить исходное выражение. Например, если нужно найти производную дроби с многочленом в числителе, можно почленно разделить числитель на знаменатель. Тогда нахождение производной частного функций заменяется на вычисление производной алгебраической суммы функций. Конечно, каждое слагаемое в полученном выражении останется дробью, и находить производную частного придется, но выражения будут менее громоздкими, и процесс дифференцирования существенно упростится. Для вычисления значения производной от функции в конкретной точке, в полученном ответе вместо аргумента x подставьте его численное значение и рассчитайте выражение.