В любом учебнике вы встретите определение, что производная – это отношение приращения функции к приращению аргумента, при условии стремящегося к нулю приращения аргумента. Говоря более понятным и простым языком, слово приращение можно смело заменить термином изменение. Понятие стремления к нулю аргумента стоило бы разъяснять ученику после прохождения понятия «предел». Однако, чаще всего эти формулировки встречаются гораздо раньше. Для понимания термина «стремится к нулю» нужно представить себе ничтожно малую величину, которая настолько мала, что это невозможно записать математически.
Подобное определение кажется ученику запутанным. Для упрощения формулировки, нужно вникнуть в физический смысл производной. Вспомните любой физический процесс. Например, движение автомобиля по участку дороги. Из школьного курса физики известно, что скорость этого автомобиля есть отношение пройденного расстояния ко времени, за которое оно пройдено. Но подобным образом невозможно определить мгновенную скорость автомобиля в конкретный момент времени. При выполнении деления получается средняя скорость на всём участке пути. Тот факт, что где-то автомобиль стоял на светофоре, а где-то ехал под горку с большей скоростью не учитывается.
Эту сложную задачу позволяет решить производная. Функция движения автомобиля представляется в виде бесконечно малых (или коротких) интервалов времени, на каждом из которых можно применить дифференцирование и узнать изменение функции. Именно поэтому, в определении производной есть упоминание про бесконечно малое приращение аргумента. Таким образом, физический смысл производной заключается в том, что это скорость изменения функции. Продифференцировав функцию скорости по времени можно получить значение скорости автомобиля в конкретный момент времени. Это понимание полезно при изучении любого процесса. Ведь в окружающем реальном мире нет идеальных правильных зависимостей.
Если же говорить про геометрический смысл производной, то достаточно представить себе график любой функции, не являющейся прямолинейной зависимостью. Например, ветвь параболы или любую неправильную кривую. К этой кривой всегда можно провести касательную, а точка соприкосновения касательной и графика и будут являться искомым значением функции в точке. Угол, под которым проведена эта касательная к оси абсцисс и определяет производная. Таким образом, геометрический смысл производной – это угол наклона касательной к графику функции.
