Общий смысл производной
Производная функции – это предел, к которому стремится отношение приращения значения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю. Для неподготовленного человека звучит крайне абстрактно. Если разобраться, будет видно, что это не так.
Для того чтобы найти производную функции, возьмите произвольную функцию – зависимость «игрека» от «икса». Замените в выражении этой функции ее аргумент на приращение аргумента и разделите полученное выражение на само приращение. Вы получите дробь. Далее необходимо провести операцию предела. Для этого нужно устремить приращение аргумента к нулю и пронаблюдать, к чему устремится в этом случае ваша дробь. Та конечная, как правило, величина и будет являться производной функции. Обратите внимание, что в выражении для производной функции уже не будет никаких приращений, ибо вы устремили их нулю, поэтому останется только сама переменная и (или) константа.
Итак, производная - это отношение приращения функции к приращению аргумента. Каков же смысл такой величины? Если вы, например, найдете производную линейной функции, то вы увидите, что она постоянна. Причем эта константа в выражении самой функции просто умножается на аргумент. Далее, если вы построите график данной функции при разных значениях производной, просто меняя ее раз за разом, то вы заметите, что при больших ее значениях наклон прямой становится больше, и наоборот. Если же вы имеете дело не с линейной функцией, то значение производной в данной точке скажет вам о наклоне касательной, проведенной в данной точке функции. Таким образом, значение производной функции говорит о скорости роста функции в данной точке.
Физический смысл производной
Теперь, чтобы понять физический смысл производной, достаточно просто заменить вашу абстрактную функцию на любую физически обоснованную. К примеру, пусть вы имеете зависимость пути перемещения тела от времени. Тогда производная от такой функции скажет вам о скорости перемещения тела. Если вы получите значение постоянное, то можно будет говорить о том, что тело перемещается равномерно, то есть с постоянной скоростью. Если же вы получите выражение для производной, линейно зависящее от времени, то станет понятно, что движение равноускоренное, ибо вторая производная, то есть производная данной производной, будет постоянной, что фактически означает постоянство скорости скорости тела, а это и есть его ускорение. Вы можете подобрать любую другую физическую функцию и увидеть, что ее производная даст вам определенный физический смысл.
