Как найти собственные числа матрицы

Матрицы, представляющие собой табличную форму записи данных, широко применяются при работе с системами линейных уравнений. Причем число уравнений определяет количество строк матрицы, а количество переменных – порядок ее столбцов. В результате решение линейных систем сводится к операциям над матрицами, одна из которых – поиск собственных чисел матрицы. Их вычисление осуществляется с помощью характеристического уравнения. Собственные числа могут быть определены для квадратной матрицы порядка m.

Инструкция

1. Запишите заданную квадратную матрицу А. Для поиска ее собственных чисел используйте характеристическое уравнение, вытекающее из условия нетривиального решения линейной однородной системы, представленной в данном случае квадратной матрицей. Как следует из правила Крамера, решение существует только в том случае, если ее определитель равен нулю. Таким образом, можно записать уравнение | A - λE | = 0, где А – заданная матрица, λ – искомые собственные числа, E – единичная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны единице, а остальные – нулю.
2. Выполните умножение искомой переменной λ на единичную матрицу Е той же размерности, что и заданная исходная А. Результатом операции будет являться матрица, где по главной диагонали расположены значения λ, остальные элементы остаются равными нулю.
3. Вычтите из заданной матрицы А полученную в предыдущем шаге матрицу. Результирующая матрица разности будет повторять исходную А за исключением элементов по главной диагонали. Они же будут представлять собой разность: (аii – λ), где аii – элементы главной диагонали матрицы А, λ – переменная, определяющая искомые собственные числа.
4. Найдите определитель полученной матрицы разности. В случае рассмотрения системы второго порядка он равен разности произведений элементов главной и побочной диагонали матрицы: (а11 – λ)*( а22 – λ) – а12* а21. Для третьего порядка вычисление определителя проводится по правилу Саррюса (правилу треугольников): а11*а22*а33 + а13*а21*а32 + а12*а23*а31 - а21*а12*а33 - а13*а22*а31 - а11*а32*а23, где аij – элементы матрицы. При решении матриц большей размерности целесообразно использовать метод Гаусса или разложение по строке.
5. В результате вычислений определителя и проведенных упрощений получится линейное уравнение с неизвестной переменной λ. Решите уравнение. Все его действительные корни и будут являться собственными числами исходной матрицы А.