Инструкция
1
Матричная алгебра является не только важнейшим разделом высшей математики, но и совокупностью методов решения различных прикладных задач путем составления линейных систем уравнений. Матрицы применяются в экономической теории и в построении математических моделей, например, в линейном программировании.
2
Линейная алгебра описывает и изучает множество операций над матрицами, включая суммирование, умножение и деление. Последнее действие условно, она фактически является умножением на матрицу, обратную ко второй. Тут-то и проходят на помощь алгебраические дополнения элементов матрицы.
3
Понятие алгебраического дополнения напрямую вытекает из двух других фундаментальных определений матричной теории. Это определитель и минор. Определителем квадратной матрицы называется число, которое получается по следующей формуле исходя из значений элементов:∆ = a11•a22 – a12•a21.
4
Минор матрицы – это ее определитель, порядок которого на единицу меньше. Минор какого-либо элемента получается путем удаления из матрицы строки и столбца, соответствующих номерам позиции элемента. Т.е. минор матрицы M13 будет равнозначен определителю, полученному после вычеркивания первой строки и третьего столбца:M13 = a21•a32 – a22•a31.
5
Чтобы найти алгебраические дополнения матрицы, необходимо определить соответствующие миноры ее элементов с определенным знаком. Знак зависит от того, в какой позиции стоит элемент. Если сумма номеров строки и столбца – четное число, то алгебраическое дополнение будет положительным числом, если нечетное – отрицательным. Т.е.:Aij = (-1)^(i+j)•Mij.
6
Пример.Вычислите алгебраические дополнения.
7
Решение:A11 = 12 - 2 = 10;A12 = -(27 + 12) = -39;A13 = 9 + 24 =33;A21 = -(0 - 8) = 8;A22 = 15 + 48 = 63;A23 = -(5 - 0) = -5;A31 = 0 - 32 = -32;A32 = -(10 - 72) = 62;A33 = 20 - 0 = 20.