Инструкция
1
Чтобы вывести формулу для медианы в произвольном треугольнике, необходимо обратиться к следствию из теоремы косинусов для параллелограмма, получающегося путем достраивания треугольника. Формулу можно доказать на этом основании, она очень удобна при решении задач, если известны все длины сторон или их легко можно найти из других начальных данных задачи.
2
Фактически теорема косинусов представляет собой обобщение теоремы Пифагора. Она звучит так: для двумерного треугольника с длинами сторон a, b и c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо следующее равенство:a² = b² + c² – 2•b•c•cos α.
3
Обобщающее следствие из теоремы косинусов определяет одно из важнейших свойств четырехугольника: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон: d1² + d2² = a² + b² + c² + d².
4
Решите задачу: пусть в произвольном треугольнике ABC известны все стороны, найдите его медиану BM.
5
Достройте треугольник до параллелограмма ABCD добавлением линий, параллельных a и c. таким образом, сформировалась фигура со сторонами a и c и диагональю b. Удобнее всего строить так: отложите на продолжении прямой, которой принадлежит медиана, отрезок MD той же длины, соедините его вершину с вершинами оставшихся двух сторон A и C.
6
По свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения на равные части. Примените следствие из теоремы косинусов, согласно которому сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме удвоенных квадратов его сторон:BK² + AC² = 2•AB² + 2•BC².
7
Поскольку BK = 2•BM, а BM – это медиана m, то:(2•m) ² + b² = 2•c² + 2•a², откуда:m = 1/2•√(2•c² + 2•a² - b²).
8
Вы вывели формулу одной из медиан треугольника для стороны b: mb = m. Аналогично находятся медианы двух других его сторон:ma = 1/2•√(2•c² + 2•b² - a²);mc = 1/2•√(2•a² + 2•b² - c²).