Как найти область допустимых значений

Область допустимых значений функции нельзя путать с областью значений функции. Если первое – это все х, при которых уравнение или неравенство может быть решено, то второе – все значения функции, то есть у. Об области допустимых значений нужно помнить всегда, поскольку нередко найденные значения х коварно оказываются вне этой совокупности и поэтому не могут быть решением уравнения.

Вам понадобится

• - уравнение или неравенство с переменной.

Инструкция

1. Изначально в качестве области допустимых значений возьмите бесконечность. То есть представьте, что уравнение можно решить при всех х. После этого, используя несколько несложных запретов математики (нельзя делить на ноль, выражения под корнем четной степени и логарифма должно быть больше нуля), исключайте из ОДЗ недопустимые значения переменной.
2. Если переменная х заключена в выражении под корень четной степени, поставьте условие: выражение под корнем должны быть меньше нуля. Затем решите это неравенство, найденный интервал исключите из области допустимых значений. Обратите внимание, не надо решать все уравнение – при поиске ОДЗ вы решаете лишь его небольшой кусочек.
3. Обратите внимание на знак деления. Если в выражении есть знаменатель, содержащий переменную, приравняйте его к нулю и решите полученное уравнение. Исключите полученные значения переменной из области допустимых значений.
4. Если в выражении есть знак логарифма с переменной в основании, обязательно поставьте следующее ограничение: основание всегда должно быть больше нуля и не равно единице. Если же переменная стоит под знаком логарифма, укажите, что все выражение в скобках должно быть больше единицы. Решите полученные небольшие уравнения и исключите недопустимые значения из ОДЗ.
5. Если в уравнении или неравенстве несколько корней четной степени, операций деления или логарифмов, найдите недопустимые значений отдельно для каждого выражения. Затем объедините решение, вычитая все полученные результаты из области допустимых значений.
6. Даже если вы нашли ОДЗ и полученные при решении уравнения корни удовлетворяют ему, это не всегда значит, что эти значения х являются решением, поэтому всегда проверяйте правильность решения подстановкой. Например, попробуйте решить следующее уравнение: √ (2х-1)=-х. В область допустимых значений здесь войдут все числа, удовлетворяющие 2х-1≥0, то есть х≥1/2. Для решения уравнения возведите обе части в квадрат, после упрощений у вас получится один корень х=1. Обратите внимание, этот корень входит в ОДЗ, но при подстановке вы убедитесь, что он не является решением уравнения. Окончательный ответ – корней нет.