Как построить линию уровней

Линией уровня функции называют множество точек пространства, в которых принимаемые функцией значения одинаковы. Таких линий может существовать бесконечное множество в пределах области значений, определяемой формулой. Кроме математики и физики линии уровня используются, например, в картографии для указания уровней одинаковых высот (изогипса) или глубин (изобата). В метеорологии такими линиями обозначают уровни одинаковых температур и давлений (изотерма и изобара).

Инструкция

1. При построении линий уровня исходите из того, что они являются проекциями на плоскость с нулевой аппликатой линий пересечения графика заданной функции с некоторой горизонтальной плоскостью. Аппликата этой плоскости сечения и является константой, к которой нужно приравнять уравнение функции, чтобы получить координаты точек линии. Она может меняется с заданным в условиях задачи шагом, если построить требуется набор линий. А если построить нужно всего одну линию уровней, в условиях могут быть даны координаты точки лежащей на ней. Графики с этой страницы можно сохранить или отредактировать в интерактивном режиме.
2. Приведите заданную в условиях задачи функцию к виду f(x,y) = const. Например, если дана формула z = x² + y² - 4*y, ее можно записать в альтернативной форме, чтобы лучше представить форму графика функции, и приравнять к константе c: c+4 = x²+(y-2)². Объемный график такой функции представляет собой бесконечный параболоид, а все его сечения горизонтальной плоскостью, поднятой на разные уровни, (т.е. искомые линии уровней) будут концентрическими кругами с радиусом, определяемым по формуле √(c+4).
3. Подставьте вместо константы c заданное в условиях значение для линии уровня. Если оно не дано - выберите сами, исходя из области значений функции. Например, для приведенного выше примера минимальным значением константы может быть число -4. Константу можно приравнять к 5 и в этом случае графиком функции будет круг с радиусом √(5+4) = 3 и центром в точке с абсциссой, равной 0 и ординатой, равной 2.
4. Если нужно построить несколько линий уровней, повторите предыдущий шаг нужное число раз.
5. В интернете можно найти сервисы, которые помогут с построением линий уровней. Например, ниже приведена ссылка на сервис WolframAlpha. В поле ввода на его странице введите формулу функции и щелкните по кнопке со значком равенства. Использованную в примере функцию z = x² + y² - 4*y надо вводить в таком виде: x^2+y^2-4*y. Через несколько секунд на странице появятся двух- и трехмерные цветные графики с линиями уровней, а также классификация фигуры, описываемой формулой, альтернативные формы ее записи и другие свойства функции, которые можно использовать при построении линий уровней.