Инструкция
1
π — иррациональное число. Это значит, что его невозможно представить в виде дроби с целым числителем и знаменателем. Более того, π — трансцендентное число, то есть оно не может служить решением никакого алгебраического уравнения. Таким образом, точное значение числа π записать невозможно. Однако есть методы, позволяющие вычислить его с любой требующейся степенью точности.
2
Древнейшие приближения, которыми пользовались геометры Греции и Египта, говорят, что π примерно равно квадратному корню из 10 или дроби 256/81. Но эти формулы дают значение π, равное 3,16, а этого явно недостаточно.
3
Архимед и другие математики вычисляли π с помощью сложной и трудоемкой геометрической процедуры — измерения периметров вписанных и описанных многоугольников. Полученное ими значение было равно 3,1419.
4
Еще одна приближенная формула определяет, что π = √2 + √3. Она дает значение для π, примерно равное 3,146.
5
С развитием дифференциального исчисления и других новых математических дисциплин в распоряжении ученых появился новый инструмент — степенные ряды. Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1674 году обнаружил, что бесконечный ряд
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
в пределе сходится к сумме, равной π/4. Вычислять эту сумму просто, однако, чтобы достичь достаточной точности, понадобится много шагов, поскольку ряд сходится очень медленно.
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
в пределе сходится к сумме, равной π/4. Вычислять эту сумму просто, однако, чтобы достичь достаточной точности, понадобится много шагов, поскольку ряд сходится очень медленно.
6
Впоследствии были обнаружены и другие степенные ряды, позволяющие вычислять π быстрее, чем при помощи ряда Лейбница. Например, известно, что tg(π/6) = 1/√3, следовательно, arctg(1/√3) = π/6.
Функция арктангенса раскладывается в степенной ряд, и для заданного значения мы в результате получаем:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
При помощи этой и других аналогичных формул число π было вычислено уже с точностью до миллионов знаков после запятой.
Функция арктангенса раскладывается в степенной ряд, и для заданного значения мы в результате получаем:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
При помощи этой и других аналогичных формул число π было вычислено уже с точностью до миллионов знаков после запятой.
7
Для большинства практических расчетов вполне достаточно знать число π с точностью до семи знаков после запятой: 3,1415926. Его можно легко запомнить при помощи мнемонической фразы: «Три — четырнадцать — пятнадцать — девяносто два и шесть».
Обратите внимание
Существует много способов вычисления числа Пи. Самым простым и понятным является численный метод Монте-Карло, суть которого сводится к простейшему перебору точек на площади. double y=radius*radius-x*x; return y; } Программа выводит значения числа Пи в зависимости от радиуса и количества точек. Единственное, что остается читателю, это скомпилировать её самостоятельно и запустить с параметрами, которые желает он.
Полезный совет
Но неутомимые ученые продолжали и продолжали вычислять десятичные знаки числа пи, что является на самом деле дико нетривиальной задачей, потому что просто так в столбик его не вычислить: число это не только иррациональное, но и трансцендентное (это вот как раз такие числа, которые не вычисляются путем простых уравнений). Ученые Токийского университета сумели поставить мировой рекорд в вычислениях числа Пи до 12411-триллионного знака.
Источники:
- История числа Пи
