Как найти геометрическую фигуру

Среди основных задач аналитической геометрии на первом месте стоит представление геометрических фигур неравенством, уравнением или системой тех или других. Это возможно благодаря применению координат. Опытный математик, только взглянув на уравнение, без труда скажет, какую геометрическую фигуру можно начертить.

Инструкция

1. Уравнением F (x, y) можно задать кривую или прямую линию при выполнении двух условий: если координаты точки, которая не принадлежит заданной линии, не удовлетворяют уравнению; если каждая точка искомой линии со своими координатами удовлетворяет этому уравнению.
2. Уравнение вида x+√(y(2r-y) )=r arccos (r-y)/r задает в декартовых координатах циклоиду – траекторию, которая описывается точкой на окружности c радиусом r. При этом окружность не скользит по оси абсцисс, а катится. Какая при этом получается фигура, смотрите на рисунке 1.
   
3. Фигура, координаты точек которой задаются следующими уравнениями:
   x=(R+r) cosφ - rcos (R+r)/r φ
   y=(R+r) sinφ - rsin (R-r)/r φ,
   называется эпициклоидой. Она показывает траекторию, которую описывает точка на окружности с радиусом r. Эта окружность катится по другой окружности, имеющей радиус R, с внешней стороны. То, как выглядит эпициклоида, смотрите на рисунке 2.
   
4. Если окружность, имеющая радиус r, скользит по другой окружности с радиусом R с внутренней стороны, то траектория, описываемая точкой на движущейся фигуре, называется гипоциклоидой. Координаты точек полученной фигуры можно найти через следующие уравнения:
   
   x=(R-r)cosφ+rcos (R-r)/r φ
   y=(R-r)sinφ-rsin (R-r)/r φ
   
   На рисунке 3 изображен график гипоциклоиды.
   
5. Если вы видите параметрическое уравнение типа
   
   x=x ̥+Rcosφ
   y=y ̥+Rsinφ
   
   или каноническое уравнение в декартовой системе координат
   
   x2 + y2 = R2,
   
   то при построении графика вы получите окружность. Смотрите рисунок 4.
   
6. Уравнение вида
   
   x²/a² + y²/b² =1
   
   описывает геометрическую фигуру под названием эллипс. На рисунке 5 вы увидите график эллипса.
   
7. Уравнением квадрата будет следующее выражение:
   
   |x|+|y| = 1
   
   Обратите внимание, что в данном случае квадрат расположен по диагонали. То есть оси абсцисс и ординат, ограниченные вершинами квадрата, являются диагоналями этой геометрической фигуры. График, на котором изображено решение данного уравнения, смотрите на рисунке 6.