Инструкция
1
Многочлен является основным понятием для решения алгебраических уравнений и представления степенной, рациональной и прочих функций. К этой структуре относится наиболее распространенное в школьном курсе предмета квадратное уравнение.
2
Часто по мере упрощения громоздкого выражения возникает потребность возвести трехчлен в квадрат. Для этого нет готовой формулы, однако есть несколько методов. Например, представить квадрат трехчлена в виде произведения двух одинаковых выражений.
3
Рассмотрите пример: возведите в квадрат трехчлен 3•х² + 4•х – 8.
4
Измените запись (3•х² + 4•х – 8)² на (3•х² + 4•х – 8)•( 3•х² + 4•х – 8) и воспользуйтесь правилом умножения многочленов, которое состоит в последовательном вычислении произведений. Сначала умножьте первое составляющее первой скобки на каждое слагаемое второй, затем так же поступите со вторым и, наконец, с третьим:(3•х² + 4•х – 8)•( 3•х² + 4•х – 8) = 3•х²•(3•х² + 4•х - 8) + 4•х•(3•х² + 4•х – 8) – 8•(3•х² + 4•х – 8) = 9•х^4 + 12•х³ – 24•х² + 12•х³ + 16•х² – 32•х – 24•х² – 32•х + 64 = 9•х^4 + 24•х³ – 32•х² – 64•х + 64.
5
К тому же результату можно придти, если запомнить, что в результате перемножения двух трехчленов остается сумма из шести элементов, три из которых являются квадратами каждого слагаемого, а три остальных – их всевозможными попарными произведениями в удвоенной форме. Эта элементарная формула элементарно выглядит так:(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2•a•b + 2•a•c + 2•b•c.
6
Примените ее к вашему примеру:(3•х² + 4•х - 8)² = (3•х² + 4•х + (-8))² =(3•х²)² + (4•х)² + (-8)² + 2•(3•х²)•(4•х) + 2•(3•х²)•(-8) + 2•(4•х)•(-8) = 9•х^4 + 16•х² + 64 + 24•х³ – 48•х² – 64•х = 9•х^4 + 24•х³ - 32•х² - 64•х + 64.
7
Как видите, ответ получился тот же, а манипуляций потребовалось меньше. Это особенно важно, когда одночлены сами по себе являются сложными структурами. Этот способ применим для трехчлена любой степени и любого количества переменных.