Инструкция
1
Несобственный интеграл – это определенный интеграл с пределами интегрирования, один или оба из которых являются бесконечными. Интеграл с бесконечным верхним пределом встречается чаще всего. Следует учесть, что решение существует далеко не всегда, при этом подынтегральная функция должна быть непрерывной на интервале [a; +∞).
2
На графике такой несобственный интеграл выглядит как площадь криволинейной фигуры, не ограниченной с правой стороны. Может возникнуть мысль, что в таком случае он всегда будет равен бесконечности, однако это верно только если интеграл расходится. Как это ни парадоксально, но при условии сходимости он равен конечному числу. Кроме того, это число может быть отрицательным.
3
Пример: решите несобственный интеграл ∫dx/x² на интервале [1; +∞).Решение.Чертеж выполнять необязательно. Очевидно, что функция 1/x² непрерывна в пределах интегрирования. Найдите решение, используя формулу Ньютона-Лейбница, которая в случае несобственного интеграла несколько видоизменяется:∫f(x)dx = lim (F(b) – F(a)) при b → ∞.∫dx/x² = -lim (1/x) = -lim (1/b -1/1) = [1/b = 0] = -(0 - 1) = 1.
4
Алгоритм решения несобственных интегралов с нижним или двумя бесконечным пределами интегрирования тот же. Например, решите ∫dx/(x² + 1) на интервале (-∞; +∞).Решение.Подынтегральная функция является непрерывной на всем своем протяжении, поэтому согласно правилу разложения интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов на интервалах, соответственно, (-∞; 0] и [0; +∞). Интеграл сходится, если сойдутся обе его части. Проверьте:∫(-∞; 0] dx/(x² + 1) = lim_(a→-∞) artctg x = lim (0 – (arctg a)) = [artg a → -π/2] = 0 – (-π/2) = π/2;∫[0; +∞) dx/(x² + 1) = lim_(b→+∞) artctg x = lim (arctg b) = [artg b → π/2] = π/2;
5
Обе половинки интеграла сходятся, значит, сходится и он:∫(-∞; +∞) dx/(x² + 1) = π/2 + π/2 = π.Примечание: если хотя бы одна из частей разойдется, то интеграл не имеет решения.
