Как исследовать на сходимость ряд

Одной из наиболее важных задач математического анализа является исследование ряда на сходимость ряда. Эта задача является решаемой в большинстве случаев. Самое важное - знать основные признаки сходимости, уметь применять их на практике и выбирать для каждого ряда нужный.

Вам понадобится

• Учебник по высшей математике, таблица признаков сходимости

Инструкция

1. По определению ряд называется сходящимся, если существует такое конечное число, которое заведомо больше суммы элементов этого ряда. Другими словами, ряд сходится, если сумма его элементов конечна. Выявить тот факт, является сумма конечной или бесконечной помогут признаки сходимости ряда.
2. Одним из самых простых признаков сходимости является признак сходимости Лейбница. Его мы можем использовать, если рассматриваемый ряд является знакопеременным (то есть каждый последующий член ряда меняет знак с "плюса" на "минус"). По признаку Лейбница, знакопеременный ряд является сходящимся в случае, если последний член ряда по модулю стремится к нулю. Для этого в пределе функции f(n) устремляем n к бесконечности. Если этот предел равен нулю, то ряд сходится, в противном случае - расходится.
3. Еще один распространенный способ проверить ряд на сходимость (расходимость) - использование предельного признака Даламбера. Для его использования мы делим n-ый член последовательности на предыдущий ((n-1)-ый). Это отношение мы вычисляем, его результат берем по модулю (n снова устремляем к бесконечности). Если мы получаем число меньшее единицы - ряд сходится, иначе - ряд расходится.
4. Радикальный признак Даламбера чем-то похож на предыдущий: мы извлекаем корень n-ой степени из n-ого ее члена. Если мы получаем в результате число, меньшее единицы, то последовательность сходится, сумма ее членов - конечное число.
5. В ряде случаев (когда мы не можем применить признак Даламбера) выгодно воспользоваться интегральным признаком Коши. Для этого заносим функцию ряда под интеграл, дифференциал берем по n, расставляем пределы от нуля до бесконечности (такой интеграл называется несобственным). Если численное значение этого несобственного интеграла равно конечному числу, то ряд является сходящимся.
6. Иногда для того чтобы узнать, к какому типу относится ряд, необязательно пользоваться признаками сходимости. Можно просто сравнить его с другим сходящимся рядом. Если ряд меньше заведомо сходящегося ряда, то он также является сходящимся.