Инструкция
1
Как известно, никакое действительное число не может быть квадратным корнем из отрицательного числа, то есть, если b < 0, то невозможно найти такое a, чтобы a^2 = b.

В связи с этим было решено ввести новую единицу, с помощью которой можно было бы выразить такое a. Она получила название мнимой единицы и обозначение i. Мнимая единица равна квадратному корню из -1.
2
Поскольку i^2 = -1, то √(-b^2) = √((-1)* b^2) = √(-1)*√(b^2) = ib. Так вводится понятие мнимого числа. Любое мнимое число можно выразить в виде ib, где b — действительное число.
3
Действительные числа можно представить в виде числовой оси от минус бесконечности до плюс бесконечности. Мнимые числа оказалось удобно представить в виде аналогичной оси, перпендикулярной оси действительных чисел. Вместе они составляют координаты числовой плоскости.

При этом каждой точке числовой плоскости с координатами (a, b) соответствует одно и только одно комплексное число вида a + ib, где a и b — действительные числа. Первое слагаемое этой суммы называется действительной частью комплексного числа, второе — мнимой частью.
4
Если a = 0, то комплексное число называется чисто мнимым. Если b = 0, то число называется действительным.
5
Знак сложения между действительной и мнимой частями комплексного числа не обозначает их арифметической суммы. Скорее комплексное число можно представить в виде вектора, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке (a, b).

Как у всякого вектора, у комплексного числа есть абсолютное значение, или модуль. Если z = x + iy, то |z| = √(x2 + y^2).
6
Два комплексных числа считаются равными только в том случае, если действительная часть одного равна действительной части другого и мнимая часть одного равна мнимой части другого, то есть:

z1 = z2, если x1 = x2 и y1 = y2.

Однако для комплексных чисел не имеют смысла знаки неравенства, то есть нельзя сказать, что z1 < z2 или z1 > z2. Сравнивать таким образом можно только модули комплексных чисел.
7
Если z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 — комплексные числа, то:

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Легко заметить, что сложение и вычитание комплексных чисел подчиняется тому же правилу, что сложение и вычитание векторов.
8
Произведение двух комплексных чисел равно:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Поскольку i^2 = -1, то конечный результат равен:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).
9
Операции возведения в степень и извлечения корня для комплексных чисел определяются так же, как и для действительных. Однако в комплексной области для любого числа существует ровно n таких чисел b, что b^n = a, то есть n корней n-ой степени.

В частности, это значит, что любое алгебраическое уравнение n-ой степени с одной переменной имеет ровно n комплексных корней, некоторые из которых могут быть и действительными.