Инструкция
1
Рассмотрите кубическое уравнение вида Ax³+Bx²+Cx+D=0, где A≠0. Найдите корень уравнения методом подбора. Примите во внимание, что один из корней уравнения третьей степени всегда является делителем свободного члена.
2
Найдите все делители коэффициента D, то есть все целые числа (положительные и отрицательные), на которые свободный член D делится без остатка. Подставьте их поочередно в исходное уравнение на место переменной x. Найдите то число x1, при котором уравнение обращается в верное равенство. Оно и будет являться одним из корней кубического уравнения. Всего у кубического уравнения три корня (как вещественные, так и комплексные).
3
Разделите многочлен на Ax³+Bx²+Cx+D на двучлен (x-x1). В результате деления получится квадратный многочлен ax²+bx+c, остаток будет равен нулю.
4
Приравняйте полученный многочлен к нулю: ax²+bx+c=0. Найдите корни этого квадратного уравнения по формулам x2=(-b+√(b²−4ac))/(2a), x3=(-b−√(b²−4ac))/(2a). Они также будут являться корнями исходного кубического уравнения.
5
Рассмотрите пример. Пусть дано уравнение третьей степени 2x³−11x²+12x+9=0. A=2≠0, а свободный член D=9. Найдите все делители коэффициента D: 1, -1, 3, -3, 9, -9. Подставьте эти делители в уравнение вместо неизвестного x. Получается, 2×1³−11×1²+12×1+9=12≠0; 2×(-1)³−11×(-1)²+12×(-1)+9=-16≠0; 2×3³−11×3²+12×3+9=0. Таким образом, один из корней данного кубического уравнения x1=3. Теперь разделите обе части исходного уравнения на двучлен (x−3). В результате получается квадратное уравнение: 2x²−5x−3=0, то есть a=2, b=-5, c=-3. Найдите его корни: x2=(5+√((-5)²−4×2×(-3)))/(2×2)=3, x3=(5−√((-5)²−4×2×(-3)))/(2×2)=-0,5. Таким образом, кубическое уравнение 2x³−11x²+12x+9=0 имеет действительные корни x1=x2=3 и x3=-0,5.