Как найти высоту тетраэдра

Тетраэдр является частным случаем пирамиды. Все его грани представляют собой треугольники. Кроме правильного тетраэдра, у которого все грани представляют собой равносторонние треугольники, есть еще несколько видов этого геометрического тела. Различают равногранный, прямоугольный, ортоцентрический и каркасный тетраэдры. Для того чтобы найти его высоту, нужно прежде всего определить его вид.

Вам понадобится

• - чертеж тетраэдра;
• - карандаш;
• - линейка.

Инструкция

1. Постройте тетраэдр с заданными параметрами. В условиях задачи должны быть даны вид тетраэдра, размеры ребер и углы между гранями. Для правильного тетраэдра достаточно знать длину ребра. Как правило, речь идет о правильных равносторонних тетраэдрах.
2. Повторите свойства равносторонних треугольников. У них равны все углы и составляют по 60°. Под таким же углом наклонены все грани к основанию. За основание можно принять любую сторону.
3. Выполните необходимые геометрические построения. Начертите тетраэдр с заданной стороной. Одну из граней его расположите строго горизонтально. Обозначьте треугольник основания как ABC, а вершину тетраэдра — как S. Из угла S проведите к основанию высоту. Точку пересечения обозначьте О. Поскольку все треугольники, из которых состоит данное геометрическое тело, равны между собой, то и высоты, проведенные из разных вершин к граням, тоже будут равны.
4. Из той же точки S опустите высоту и к противолежащему ребру АВ. Поставьте точку F. Это ребро является общим для равносторонних треугольников АВС и АВS. Соедините точку F с противолежащей данному ребру точкой С. Она будет одновременно являться высотой, медианой и биссектрисой угла С. Найдите равные стороны треугольника FSC. Сторона CS задана в условии и равняется a. Тогда FS=а√3/2. Эта сторона равна FC.
5. Найдите периметр треугольника FCS. Он равен половине суммы сторон треугольника. Подставив в формулу значения известной и найденных сторон данного треугольника, вы получите формулу p=1/2*(a+2а√3/2)=1/2a(1+√3), где а — заданная сторона тетраэдра, а p – полупериметр.
6. Вспомните, чему равна высота равнобедренного треугольника, проведенная к одной из его равных сторон. Вычислите высоту OF. Она равна корню квадратному из произведения полупериметра и его разностей с тремя сторонами, деленному на длину стороны FC, то есть на а*√3/2. Сделайте необходимые сокращения. В итоге у вас получится формула: высота равняется корню квадратному из двух третей, умноженному на a. H=a*√2/3.