Как решать уравнения методом Гаусса

Один из распространенных методов решения уравнений в математической статистике – метод Гаусса. С его помощью можно найти переменные системы из любого количества уравнений, что очень удобно при большом количестве данных.

Инструкция

1. Приведите уравнения к стандартному виду. Для этого перенесите свободный член в правую часть, а все элементы левой части расположите в одинаковом порядке. Чтобы было легче составить матрицу, пропишите все множители перед переменной, даже если они равны 0 или 1 (например, в одном из уравнений нет члена с х2 – значит, его можно записать как 0*х2).
2. Составьте матрицу, выписав все множители перед переменными в виде таблицы. Свободные члены при этом будут находиться справа, после вертикальной черты.
3. Порядок уравнений в системе не имеет значения, поэтому можете менять строки местами. Также можно умножать (или делить) все члены одной строки на одно и то же число. Еще одна важная возможность – можно складывать (или вычитать) строки, то есть, например, из каждого члена верхней строки вычитать соответствующий член нижней строки.
4. Ваша цель – преобразовать матрицу в треугольную, чтобы все числа в нижнем левом и верхнем правом углах обратились в ноль. Сначала исключите из всех уравнений, кроме первого, переменную х1. Например, если в первом уравнении стоит 2х1, во втором 4х1, а в третьем просто х1 (то есть, первый столбик матрицы 2, 4, 1), то удобнее всего будет умножить третье уравнение на 2, затем вычесть его из первого.
5. Далее умножьте его же на 4 и вычтите из второго. Таким образом, переменная х1 исчезнет из первой и второй строки. Поменяйте местами первую и третью строки, чтобы единица стояла в верхнем левом углу.
6. Когда переменная х1, не равная нулю, будет встречаться лишь в одной строке, переходите к следующей переменной х2. Точно также, используя возможность переставлять строки, умножать их на число, вычитать из друг друга, приведите все члены второго столбца к нулю (кроме одного). Обратите внимание, не равный нулю член будет расположен в другой строке – например, во второй.
7. Добейтесь того, чтобы ваша матрица приобрела следующий вид: диагональ из верхнего левого в нижний правый угол заполнена единицами, а остальные члены равны нулю. Свободные члены при этом будут равны каким-либо числам. Подставьте полученные значения в уравнения, и вы увидите ответ на задачу – каждая переменная будет равная определенному числу.