Как находить периметр ромба

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Кроме равенства сторон, ромб обладает другими свойствами. В частности, известно, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения каждая из них делится пополам.

Инструкция

1. Периметр ромба можно вычислить, зная длину его стороны. В этом случае по определению периметр ромба равен сумме длин его сторон, а значит равен 4a, где a - длина стороны ромба.
2. Если известны площадь ромба и соотношение между диагоналями, то задача нахождения периметра ромба несколько усложняется. Пусть дана площадь ромба S и соотношение диагоналей AС/BD = k. Площадь ромба можно выразить через произведение диагоналей: S = AC*BD/2. Треугольник AOB является прямоугольным, так как диагонали ромба пересекаются под углом 90°. Сторону ромба AB по теореме Пифагора можно найти из следующего выражения: AB² = AO² + OB². Так как ромб - частный случай параллелограмма, а в параллелограмме диагонали делятся пополам точкой пересечения, то AO = AC/2, а OB = BD/2. Тогда AB² = (AC² + BD²)/4. По условию AC = k*BD, тогда 4*AB² = (1 + k²)*BD².
   Выразим BD² через площадь:
   S = k*BD*BD/2 = k*BD²/2
   BD² = 2*S/k
   Тогда 4*AB² = (1 + k²)*2S/k. Отсюда AB равно корню квадратному из S(1 + k²)/2k. А периметр ромба по-прежнему равен 4*AB.