Как найти точки перегиба функции

Чтобы найти точки перегиба функции, нужно определить, в каких местах ее график меняет выпуклость на вогнутость и наоборот. Алгоритм поиска связан с вычислением второй производной и анализом ее поведения в окрестности некоторой точки.

Инструкция

1. Точки перегиба функции должны принадлежать области ее определения, которую нужно найти в первую очередь. График функции – это линия, которая может быть непрерывной или иметь разрывы, монотонно убывать или возрастать, иметь минимальные или максимальные точки (асимптоты), быть выпуклой или вогнутой. Резкая смена двух последних состояний и называется перегибом.
2. Необходимое условие существования точек перегиба функции состоит в равенстве второй производной нулю. Таким образом, дважды продифференцировав функцию и приравняв получившееся выражение нулю, можно найти абсциссы возможных точек перегиба.
3. Это условие следует из определения свойств выпуклости и вогнутости графика функции, т.е. отрицательному и положительному значению второй производной. В точке перегиба происходит резкая смена этих свойств, значит, производная переходит нулевую отметку. Однако равенства нулю еще недостаточно для того, чтобы обозначить перегиб.
4. Существует два достаточных признака того, что найденная на предыдущем этапе абсцисса принадлежит точке перегиба:Через эту точку можно провести касательную к графику функции. Вторая производная имеет разные знаки справа и слева от предполагаемой точки перегиба. Таким образом, ее существование в самой точке необязательно, достаточно определить, что в ней она меняет знак.Вторая производная функции равна нулю, а третья – нет.
5. Первое достаточное условие является универсальным и применяется чаще других. Рассмотрим иллюстрирующий пример: у = (3•х + 3)• ∛(х - 5).
6. Решение.Найдите область определения. В данном случае ограничений нет, следовательно, ею является все пространство действительных чисел. Вычислите первую производную:у’ = 3•∛(х - 5) + (3•х + 3)/∛(х - 5)².
7. Обратите внимание на появление дроби. Из него следует, что область определения производной ограничена. Точка х = 5 является выколотой, а значит, через нее может проходить касательная, что отчасти соответствует первому признаку достаточности перегиба.
8. Определите односторонние пределы для получившегося выражения при х → 5 – 0 и х → 5 + 0. Они равны -∞ и +∞. Вы доказали, что через точку х=5 проходит вертикальная касательная. Эта точка может оказаться точкой перегиба, но сначала вычислите вторую производную:У’’ = 1/∛(х - 5)² + 3/∛(х - 5)² – 2/3•(3•х + 3)/∛(х - 5)^5 = (2•х – 22)/∛(х - 5)^5.
9. Опустите знаменатель, поскольку точку х = 5 вы уже учли. Решите уравнение 2•х – 22 = 0. Оно имеет единственный корень х = 11.Последний этап – подтверждение того, что точки х = 5 и х = 11 являются точками перегиба. Проанализируйте поведение второй производной в их окрестностях. Очевидно, что в точке х = 5 она меняет знак с «+» на «-», а в точке х = 11 – наоборот. Вывод: обе точки являются точками перегиба. Выполнено первое достаточное условие.