Как найти минимальное значение функции

Необходимость найти минимальное значение математической функции представляет собой практический интерес в решении прикладных задач, например, в экономике. Большое значение для предпринимательской деятельности имеет минимизация убытков.

Инструкция

1. Чтобы найти минимальное значение функции, нужно определить, при каком значении аргумента x0 будет выполняться неравенство y(x0) ≤ y(x), где x ≠ x0. Как правило, эта задача решается на определенном интервале или во всей области значений функции, если таковой не задан. Одним из аспектов решения является нахождение стационарных точек.
2. Стационарной точкой называется значение аргумента, при котором производная функции обращается в ноль. Согласно теореме Ферма, если дифференцируемая функция принимает экстремальное значение в некоторой точке (в данном случае – локальный минимум), то эта точка является стационарной.
3. Минимальное значение функция часто принимает именно в этой точке, однако ее можно определить не всегда. Более того, не всегда можно с точностью сказать, чему равен минимум функции или он принимает бесконечно малое значение. Тогда, как правило, находят предел, к которому она стремится при убывании.
4. Для того чтобы определить минимальное значение функции, нужно выполнить последовательность действий, состоящую из четырех этапов: нахождение области определения функции, получение стационарных точек, анализ значений функции в этих точках и на концах интервала, выявление минимума.
5. Итак, пусть задана некоторая функция y(x) на интервале с границами в точках А и В. Найдите область ее определения и выясните, является ли интервал ее подмножеством.
6. Вычислите производную функции. Приравняйте полученное выражение нулю и найдите корни уравнения. Проверьте, попадают ли эти стационарные точки в интервал. Если нет, то на следующем этапе они не учитываются.
7. Рассмотрите интервал на предмет типа границ: открытые, закрытые, комбинированные или бесконечные. От этого зависит, как вы будете искать минимальное значение. Например, отрезок [А, В] является закрытым интервалом. Подставьте их в функцию и рассчитайте значения. То же самое проделайте со стационарной точкой. Выберите минимальный результат.
8. С открытыми и бесконечными интервалами дело обстоит несколько сложнее. Здесь придется искать односторонние пределы, которые не всегда дают однозначный результат. Например, для интервала с одной закрытой и одной выколотой границей [А, В) следует найти функцию при х = А и односторонний предел lim y при х → В-0.