Инструкция
1
Функция распределения (иногда – интегральный закон распределения) – это универсальный закон распределения, пригодный для вероятностного описания как дискретных, так и непрерывных СВ Х (случайных величин Х). Определяется как функция аргумента х (может быть и своего возможного значения Х=х), равная F(x)=P(X<x). То есть вероятности того, что СВ Х приняла значение, меньшее аргумента х.
2
Рассмотрим задачу построения F(x) дискретной случайной величины Х, заданной рядом вероятностей и представленной многоугольником распределения на рисунке 1. Для простоты ограничимся 4-мя возможными значениями.
3
При Х≤x1 F(x)=0, т.к. событие {X<x1} - событие невозможное.При x1<X≤x2 F(x)=p1, т. к. появилась одна возможность выполнения неравенства {X<x1}, а именно - Х=х1, что и происходит с вероятностью p1. Таким образом, в (х1+0) произошел скачек F(x) от 0 до р. При x2<X≤x3 аналогичным образом F(x)=p1+p3, т. к. здесь появились две возможности выполнения неравенства Х<x путем Х=х1 или Х=х2. В силу теоремы о вероятности суммы несовместных событий, вероятность этого р1+р2. Следовательно в (х2+0) F(x) претерпела скачек от p1 до р1+р2.По аналогии, при x3<X≤x4 F(x)=p1+p2+p3.
4
При X>x4 F(x)=p1+p2+p3+p4=1 (по условию нормировки). Иное объяснение - в данном случае событие {х<X} достоверно, так как все возможные значения данной случайной величины меньше такого х (одно из них должно быть принято СВ в опыте обязательно). График построенной F(x) приведен на рисунке 2.
5
Для дискретных СВ, имеющих n значений, число «ступенек » на графике функции распределения, очевидно, будет равно n. При n, стремящемся к бесконечности, в предположении, что дискретные точки «сплошь» заполняют всю числовую прямую (или ее участок), получаем, что на графике функции распределения появляется все больше и больше ступенек, все меньшего размера («ползущих», кстати, вверх), которые в пределе переходят в сплошную линию, которая и образует график функции распределения непрерывной случайной величины.
6
Стоит отметить, что основное свойство функции распределения: P(x1≤X<x2)=F(x2)-F(x1). Так что, если требуется построить статистическую функцию F*(x) распределения (на основе опытных данных), то за эти вероятности следует принять частоты интервалов pi*=ni/n (n – общее число наблюдений, ni – число наблюдений в i-м интервале). Далее используйте изложенную методику построения F(x) дискретной случайной величины. Отличие лишь в том, что «ступеньки» не стройте, а соединяйте (последовательно) точки прямыми линиями. Должна получиться неубывающая ломаная. Ориентировочный график F*(x) приведен на рисунке 3.