Нахождение наименьшего общего кратного: основные понятия


Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина "кратное".


Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.


Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.


Общее кратное натуральных чисел - это такое число, которое делится на них без остатка.


Как найти наименьшее общее кратное чисел


Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) - это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.


Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.


Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.


Например, кратные числа 4 можно записать так:


К (4) = {8,12, 16, 20, 24, ...}


К (6) = {12, 18, 24,  ...}


Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:


НОК (4, 6) = 24


Если числа большие, или нужно найти наименьшее общее кратное трех и более чисел, то лучше использовать другой способ вычисления НОК.


Для выполнения задания необходимо разложить предложенные числа на простые множители.


Сначала нужно выписать в строчку разложение наибольшего из чисел, а под ним - остальных.


В разложении каждого числа может присутствовать различное количество множителей.


Например, разложим на простые множители числа 50 и 20.


50 = 2 * 5 * 5


20 = 2 * 5 * 2


В разложении меньшего числа следует подчеркнуть множители,  которые отсутствуют в разложении первого самого большого числа, а затем их добавить к нему. В представленном примере не хватает двойки.


Теперь можно вычислить наименьшее общее кратное 20 и 50.


НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100


Так, произведение простых множителей большего числа и множителей второго числа, которые не вошли в разложение большего, будет наименьшим общим кратным.


Чтобы найти НОК трех чисел и более, следует их все разложить на простые множители, как и в предыдущем случае.


В качестве примера можно найти наименьшее общее кратное чисел 16, 24, 36.


36 = 2 * 2 * 3 * 3


24 = 2 * 2 * 2 * 3


16 = 2 * 2 * 2 * 2


Так, в разложение большего числа на множители не вошли только две двойки из разложения шестнадцати (одна есть в разложении двадцати четырех).


Таким образом, их нужно добавить к разложению большего числа.


НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9


Существуют частные случаи определения наименьшего общего кратного. Так, если одно из чисел можно поделить без остатка на другое, то большее из этих чисел и будет наименьшим общим кратным.


Например, НОК двенадцати и двадцати четырех будет двадцать четыре.


Если необходимо найти наименьшее общее кратное взаимно простых чисел, не имеющих одинаковых делителей, то их НОК будет равняться их произведению.


Например, НОК (10, 11) = 110.