Как построить график заданной функции

Для построения графика заданной функции Y=f(X) необходимо провести исследование данного выражения. Строго говоря, в большинстве случаев речь идет о построении эскиза графика, т.е. некоторого фрагмента. Границы этого фрагмента определяются предельными значениями аргумента Х или самого выражения f(X), которые возможно физически отобразить на бумаге, экране и т.д.

Инструкция

1. Прежде всего надо выяснить область определения функции, т.е. при каких значениях х выражение f(x) имеет значение. Для примера рассмотрим функции y=x^2, график которой изображен на рис.1. Очевидно, что областью определения функции является вся прямая OX. Областью определения функции y=sin(x) также является вся ось абсцисс (рис.1, снизу).
2. Далее определим область значений функции, т.е. какие значения может принимать у при значениях х, принадлежащих области определения. В нашем примере значение выражения y=x^2 не может быть отрицательным, т.е. область значений нашей функции - множество неотрицательных чисел от 0 до бесконечности.
   Область значений функции y=sin(x) является отрезок оси OY от -1 до +1, т.к. синус любого угла не может быть больше 1.
3. Теперь определим четность функции. Функция является четной, если f(x)=f(-x) и нечетной, если f(-x)=-f(x). В нашем случае y=x^2 функция - четная, функция y=sin(x) - нечетная, поэтому достаточно исследовать поведение этих функций только при положительных (отрицательных) значениях аргумента.
   Линейная функция у=а*х+b не обладает свойствами четности, поэтому исследовать подобные функции необходимо на всей области их определения.
4. Следующим шагом будет нахождение точек пересечения графика функции с осями координат.
   Ось ординат (ОY) пересекается при х=0, т.е. надо найти f(0). В нашем случае f(0)=0 - графики обеих функций пересекают ось ординат в точке (0;0).
   Для нахождения точки пересечения графика с осью абсцисс (нулей функции) необходимо решить уравнение f(x)=0. В первом случае это простейшее квадратное уравнение x^2=0, т.е. х=0, т.е. ось ОХ также пересекается один раз в точке (0;0).
   В случае y=sin(x) ось абсцисс пересекается бесконечное число раз с шагом Пи (рис.1, снизу). Этот шаг называется периодом функции, т.е. функция является периодической.
5. Для нахождения эктремумов (минимальных и максимальных значений) функции можно вычислить ее производную. В тех точках, где значение производной функции равно 0, исходная функция принимает экстремальное значение. В нашем примере производная функции y=x^2 равна 2х, т.е. в точке (0;0) имеется единственный минимум.
   Функция y=sin(x) имеет бесконечное число экстремумов, т.к. ее производная y=cos(x) также является периодической с периодом Пи.
6. После того, как произведено достаточное исследование функции, можно найти значения функции при других значениях ее аргумента для получения дополнительных точек, через которые проходит ее график. Затем все найденные точки можно объединить в таблицу, которая и будет служить основой для построения графика.
   Для зависимости y=x^2 определим следующие точки (0;0) - ноль функции и ее минимум, (1;1), (-1;1), (2;4), (-2;4).
   Для функции y=sin(x) достаточно будет ее нулей - (0;0), (Пи+n*Пи,0), максимумов - (Пи/2+2*n*Пи; 1) и минимумов - (-Пи/2+2*n*Пи; -1). В этих выражениях n- целое число.