Инструкция
1
Иррациональные уравнения необходимо привести к рациональному для того, чтобы найти ответ, решив его традиционным способом. Однако кроме возведения в квадрат тут добавляется еще одно действие: отбрасывание постороннего корня. Это понятие связано с иррациональностью корней, т.е. это решение уравнения, подстановка которого приводит к бессмысленности, например, корень из отрицательного числа.
2
Рассмотрим простейший пример: √(2•x + 1) = 3. Возведите обе части равенства в квадрат:2•x + 1 = 9 → x = 4.
3
Получается, что x=4 – это корень одновременно и обычного уравнения 2•x + 1 = 9 и исходного иррационального √(2•x + 1) = 3. К сожалению, не всегда это бывает просто. Иногда метод возведения в квадрат приводит к абсурду, например:√(2•x - 5) = √(4•x - 7)
4
Казалось бы, нужно просто возвести обе части во вторую степень и все, решение найдено. Однако в реальности получается следующее:2•x – 5 = 4•x – 7 → -2•x = -2 → x=1.Подставьте найденный корень в исходное уравнение:√(-3) = √(-3).x=1 и называется посторонним корнем иррационального уравнения, которое не имеет других корней.
5
Пример посложнее: √(2•x² + 5•x - 2) = x – 6 ↑²2•x² + 5•x – 2 = x² – 12•x + 36x² + 17•x – 38 = 0
6
Решите обычное квадратное уравнение:D = 289 + 152 = 441x1 = (-17 + 21)/2 = 2; x2 = (-17 - 21)/2 = -19.
7
Подставьте x1 и x2 в исходное уравнение, чтобы отсечь посторонние корни:√(2•2² + 5•2 - 2) = 2 – 6 → √16 = -4;√(2•(-19)² - 5•19 - 2) = -19 – 6 → √625 = -25.Это решение неверное, следовательно, уравнение, как и предыдущее, не имеет корней.
8
Пример с заменой переменной.Бывает, что простое возведение обеих частей уравнения в квадрат не освобождает от корней. В этом случае можно воспользоваться методом замены:√(x² + 1) + √(x² + 4) = 3 [y² = x² + 1]y + √(y² + 3) = 3 → √(y² + 3) = 3 – y ↑²
9
y² + 3 = 9 – 6•y + y²6•y = 6 → y=1.x² + 1 = 1 → x=0.
10
Проверьте результат:√(0² + 1) + √(0² + 4) = 1 + 2 = 3 – равенство соблюдено, значит, корень x=0 является действительным решением иррационального уравнения.
