Как найти квадратный корень из числа

Квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число b, что b^2 = a. Извлечение квадратного корня — более сложная задача, чем возведение в квадрат, но для ее решения существует множество методов.

Инструкция

1. Если b — квадратный корень из a, то, вообще говоря, (-b) тоже может считаться таковым, поскольку (-b)^2 = b^2. Однако на практике квадратным корнем принято считать только неотрицательное число.
2. Для приблизительной оценки величины квадратного корня можно использовать таблицу квадратов. Определив, между какими значениями квадратов находится заданное число, тем самым определяют границы, между которыми находится величина квадратного корня.
   
   Например, число 138 меньше, чем 144 = 12^2, но больше, чем 121 = 11^2. Следовательно, квадратный корень из него должен лежать между числами 11 и 12. Приближенное значение 11,7 при возведении в квадрат дает результат 136,89, а приближенное значение 11,8 — число 139,24.
3. Если таблицы квадратов под рукой нет, или заданное число выходит за ее пределы, можно воспользоваться теоремой, гласящей, что сумма нечетных чисел от 1 до 2n+1 всегда является полным квадратом числа n + 1. Действительно, 1^2 = 1, а для любого n всегда n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2 по известной формуле квадрата суммы.
   
   Таким образом, если последовательно вычитать из заданного числа все нечетные числа, начиная с единицы, пока результат вычитания не станет нулевым или не сделается меньше очередного вычитаемого, то количество шагов этой процедуры будет равно целой части квадратного корня. Если понадобится дальнейшее уточнение, то его можно произвести простым подбором, как в предыдущем варианте.
4. В некоторых случаях бывает нужна совсем грубая оценка величины квадратного корня из очень большого числа. Такая оценка может быть построена, исходя из количества цифр в заданном числе.
   
   Если это количество нечетно, то есть равно некоторому 2n, то корень примерно равен 6*10^n.
   Если же количество цифр четно, то за приблизительную оценку можно принять число 2*10^n.
5. Для более точного вычисления квадратного корня можно применить итеративный метод, известный как формула Герона.
   
   Пусть требуется извлечь корень из числа a. Возьмем начальное x0 = a. Дальнейшие шаги вычисляются по формуле:
   
   x(n+1) = (xn + a/xn)/2. Если n → ∞, то xn → √a.
   
   Поскольку при вычислениях по этой формуле x1 = (a + 1)/2, то имеет смысл сразу начать именно с этого значения.