Как найти вектор нормали

Задача поиска вектора нормали прямой на плоскости и плоскости в пространстве слишком проста. Фактически она завершается записью общих уравнений прямой или плоскости. Поскольку кривая на плоскости всего лишь частный случай поверхности в пространстве, то именно о нормалях к поверхности и пойдет речь.

Инструкция

1. Первый способ Этот способ самый простой, но для его понимания требуется знание понятия скалярного поля. Впрочем, и неискушенный в этом вопросе читатель сможет использовать результирующие формулы данного вопроса.
2. Известно, что скалярное поле f задается как f=f(x, y, z), а любая поверхность при этом – это поверхность уровня f(x, y, z)=C (C=const). Кроме того, нормаль поверхности уровня совпадает с градиентом скалярного поля в заданной точке.
3. Градиентом скалярно поля (функции трех переменных) называется вектор g=gradf=iдf/дx+jдf/дy+kдf/дz={дf/дx, дf/дy, дf/дz}. Так как длина нормали значения не имеет, остается лишь записать ответ. Нормаль к поверхностиf(x, y, z)-C=0 в точкеM0(x0, y0, z0) n=gradf=iдf/дx+jдf/дy+kдf/дz={дf/дx, дf/дy, дf/дz}.
4. Второй способ Пусть поверхность задана уравнением F(x, y, z)=0. Чтобы можно было в дальнейшем провести аналогии с первым способом, следует учитывать, что производная постоянной равна нулю, и F задается как f(x, y, z)-C=0 (C=const). Если провести сечение этой поверхности произвольной плоскостью, то возникшую пространственную кривую можно считать годографом какой-либо вектор-функции r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t). Тогда производная вектора r’(t)= ix’(t)+jy’(t)+kz’(t) направлена по касательной в некоторой точке M0(x0, y0, z0) поверхности (см. рис.1).
5. Дабы не возникло путаницы, текущие координаты касательной прямой следует обозначить, например, курсивом (x, y, z). Канонические уравнение касательной прямой, с учетом, что r’(t0) – направляющий вектор, записывается как (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy(t0)/dt)= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt).
6. Подставив координаты вектор-функции в уравнение поверхности f(x, y, z)-C=0 и продифференцировав по t вы получите (дf/дx)(дx/дt)+(дf/дy) (дy/дt)+(дf/дz)(дz/дt)=0. Равенство представляет собой скалярное произведение некоторого вектора n(дf/дx, дf/дy, дf/дz) и r’(x’(t), y’(t), z’(t)). Так как оно равно нулю, то n(дf/дx, дf/дy, дf/дz) и есть искомый вектор нормали. Очевидно, что результаты обоих способов идентичны.
7. Пример (имеет теоретическое значение). Найти вектор нормали к поверхности заданной классическим уравнением функции двух переменных z=z(x, y). Решение. Перепишите это уравнение в форме z-z(x, y)=F(x, y, z)=0. Следуя любому из предложных способов, получается, что n(-дz/дx, -дz/дy, 1) - искомый вектор нормали.