Как найти уравнение перпендикулярной прямой

В декартовой системе координат всякая прямая может быть записана в виде линейного уравнения. Различают общий, канонический и параметрический способы задания прямой, каждый из которых предполагает свои условия перпендикулярности.

Инструкция

1. Пусть две прямые в пространстве заданы каноническими уравнениями:(x-x1)/q1 = (y-y1)/w1 = (z-z1)/e1;(x-x2)/q2 = (y-y2)/w2 = (z-z2)/e2.
2. Числа q, w и e, представленные в знаменателях, являются координатами направляющих векторов к этим прямым. Направляющим называют такой ненулевой вектор, который лежит на данной прямой либо параллелен ей.
3. Косинус угла между прямыми имеет формулу:cosλ = ± (q1·q2 + w1·w2 + e1·e2) / √ [(q1)² + (w1)² + (e1)²] · [(q2)² + (w2)² + (e2)²].
4. Прямые, заданные каноническими уравнениями, взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы ортогональны. То есть, угол между прямыми (он же – угол между направляющими векторами) равен 90°. Косинус угла в этом случае обращается в ноль. Поскольку косинус выражен дробью, то его равенство нулю эквивалентно нулевому знаменателю. В координатах это запишется так:q1·q2 + w1·w2 + e1·e2 = 0.
5. Для прямых на плоскости цепочка рассуждений выглядит аналогично, но условие перпендикулярности запишется чуть более упрощенно: q1·q2 + w1·w2 = 0, т.к. третья координата отсутствует.
6. Пусть теперь прямые заданы общими уравнениями:J1 · x + K1 · y + L1 · z = 0;J2 · x + K2 · y + L2 · z = 0.
7. Здесь коэффициенты J, K, L – это координаты нормальных векторов. Нормаль – это единичный вектор, перпендикулярный к прямой.
8. Косинус угла между прямыми теперь запишется в таком виде:cosλ = (J1·J2 + K1·K2 + L1·L2) / √ [(J1)² + (K1)² + (L1)²] · [(J2)² + (K2)² + (L2)²].
9. Прямые взаимно перпендикулярны в том случае, если нормальные векторы ортогональны. В векторном виде, соответственно, это условие выглядит так:J1·J2 + K1·K2 + L1·L2 = 0.
10. Прямые на плоскости, заданные общими уравнениями, перпендикулярны, когда J1·J2 + K1·K2 = 0.