Как доказать, что треугольники равны

Два треугольника равны, если все элементы одного равны элементам другого. Но необязательно знать все размеры треугольников, чтобы сделать заключение об их равенстве. Достаточно иметь определенные наборы параметров заданных фигур.

Инструкция

1. Если известно, что две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого и равны углы между этими сторонами, то рассматриваемые треугольники равны. Для доказательства совместите вершины равных углов двух фигур. Продолжайте наложение. Из полученной общей для двух треугольников точки направьте одну сторону угла наложенного треугольника по соответствующей стороне нижней фигуры. По условию, эти стороны в двух треугольниках равны. Значит, концы отрезков совпадут. Следовательно, совместилась еще одна пара вершин в заданных треугольниках. Направления вторых сторон угла, с которого начато доказательство, совпадут вследствие равенства этих углов. А поскольку эти стороны равны, произойдет наложение последней вершины. Между двумя точками возможно проведение единственной прямой. Следовательно, третьи стороны в двух треугольниках совпадут. Вы получили две полностью совпавшие фигуры и доказанный первый признак равенства треугольников.
2. Если сторона и прилежащие к ней два угла в одном треугольнике равны соответствующим элементам в другом треугольнике, то два эти треугольника равны. Для доказательства правильности этого утверждения наложите две фигуры, совместив вершины равных углов при равных сторонах. Вследствие равенства углов совпадет направление второй и третьей сторон и однозначно определится место их пересечения, т. е. третья вершина первого из треугольников обязательно совместится с аналогичной точкой второго. Второй признак равенства треугольников доказан.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам второго, то эти треугольники равны. Совместите две вершины и сторону между ними так, чтобы одна фигура оказалась над другой. Поставьте иглу циркуля в одну из общих вершин, измерьте вторую сторону нижнего треугольника и проведите этим радиусом дугу на верхней половине композиции из двух треугольников. Теперь повторите операцию из второй совмещенной вершины радиусом, равным третьей стороне. Сделайте засечку на пересечении с первой дугой. Точка пересечения этих кривых только одна, и она совпадает с третьей вершиной верхнего треугольника. Вы доказали утверждение, которое в геометрии называется третьим признаком равенства треугольников.