Что такое метод доказательства «от противного»

Доказательством является логичное рассуждение, устанавливающее правдивость некоего утверждения с помощью доказанных ранее истин. При этом то, что нужно доказать, называется тезисом, а аргументы и основания - это уже известные истины.

Доказательство с помощью истины

Доказательство «от противного» (по-латински "reductio ad absurdum") характеризуется тем, что сам процесс доказательства какого-либо мнения осуществляется путем опровержения противоположного суждения. Ложность антитезиса можно доказать, установив тот факт, что он несовместим с истинным суждением.

Обычно такой метод наглядно демонстрируется с помощью формулы, где А – антитезис, а В – истина. Если при решении получается, что наличие переменной А приводит к результатам отличным от В, то доказывается ложность А.

Доказательство «от противного» без использования истины

Существует и более легкая формула доказательства ложности «противного» - антитезиса. Такая формула-правило гласит: «Если при решении с переменной А в формуле возникло противоречие, А – ложно». При этом не имеет значения, является ли антитезис отрицательным или утвердительным суждением. К тому же более простой способ доказательства от противного содержит в себе только два факта: тезис и антитезис, истина В не используется. В математике это значительно упрощает процесс доказательства.

Апагогия

В процессе доказательства от противного (которое еще называется «приведением к нелепости») часто используется апагогия. Это логический прием, цель которого доказать неверность какого-либо суждения так, чтобы непосредственно в нем или в вытекающих из него следствиях было выявлено противоречие. Противоречие может выражаться в тождестве заведомо различных предметов или в качестве выводов: конъюнкция или эквивалентность пары В и не В (истина и не истина).

Прием доказательства «от противного» часто используется в математике. Во многих случаях доказать неверность суждения другим способом не представляется возможным. Кроме апагогии существует и парадоксальная форма доказательства от противного. Такая форма применялась еще в «Началах» Евклида и представляет собой следующее правило: А считается доказанным, если получается продемонстрировать и «истинность ложности» А.

Таким образом, процесс доказательства от противного (оно же зовется косвенным и апогогическим доказательством) выглядит следующим образом. Выдвигается мнение, противоположное тезису, из этого антитезиса выводятся следствия, среди которых ищется ложное. Находят доказательства того, что среди следствий действительно имеется ложное. Из этого делается вывод, что антитезис неверен, а раз неверен антитезис, следует логичный вывод, что истина содержится именно в тезисе.