Вам понадобится
  • Учебник по алгебре и началам анализа или по высшей математике, лист бумаги, шариковая ручка.
Инструкция
1
Откройте учебник по алгебре или учебник по высшей математике на главе об интегралах и найдите таблицу с решениями основных интегралов. Вся суть метода замены сводится к тому, что вам необходимо привести решаемый вами интеграл к одному из табличных интегралов.
2
Напишите на листе бумаги пример некоторого интеграла, который необходимо решить заменой переменных. Как правило, выражение такого интеграла содержит в себе некоторую функцию, переменной которой является другое более простое выражение, содержащее в себе переменную интегрирования. Например, вы имеете интеграл c подынтегральным выражением sin(5x+3), тогда таким простым выражением будет многочлен 5x+3. Данное выражение и необходимо заменить на некоторую новую переменную, например t. Таким образом, нужно осуществить отождествление 5x+3=t. В таком случае подынтегральная функция будет зависеть уже от новой переменной.
3
Обратите внимание, что после того, как вы произвели замену, интегрирование все еще происходит по прежней переменной (в нашем примере это переменная x). Для того чтобы решить интеграл, необходимо перейти к новой переменной и в дифференциале интеграла.
4
Продифференцируйте правую и левую часть уравнения, связывающего старую и новую переменную. Тогда с одной стороны вы получите дифференциал новой переменной, а с другой – произведение производной выражения, которое было заменено, на дифференциал старой переменной. Из данного дифференциального уравнения найдите, чему равен дифференциал старой переменной. Замените данный дифференциал в интеграле на новый. Вы получите, что образованный заменой переменной интеграл зависит теперь только от новой переменной, а подынтегральное выражение при этом оказывается гораздо проще, чем оно было в первоначальном виде.
5
Произведите также замену переменной в границах интегрирования данного интеграла, если он является определенным. Для того чтобы это сделать, подставьте значения границ интегрирования в выражение, определяющее новую переменную через старую. Вы получите значения границ интегрирования для новой переменной.
6
Не забывайте, что замена переменных оказывается полезной и возможной далеко не всегда. В вышеописанном примере выражение, замененное на новую переменную, являлось линейным относительно старой переменной. Это привело к тому, что производная от данного выражения оказалось равной некоторой константе. Если выражение, которое вам необходимо заменить на новую переменную, не является достаточно простым или хотя бы линейным, то замена переменных, скорее всего, не поможет в решении интеграла.