Как найти площадь треугольника по векторам

Треугольник - это простейшая из многоугольных плоских фигур, которую можно задать с помощью координат точек в вершинах ее углов. Площадь участка плоскости, который будет ограничен сторонами этой фигуры, в декартовой системе координат можно вычислить несколькими способами.

Инструкция

1. Если координаты вершин треугольника даны в двухмерном декартовом пространстве, то сначала составьте матрицу из разниц значений координат точек, лежащих в вершинах. Затем используйте определитель второго порядка для полученной матрицы - он будет равен векторному произведению двух векторов, составляющих стороны треугольника. Если обозначить координаты вершин как A(X₁, Y₁), B(X₂, Y₂) и C(X₃, Y₃), то формулу площади треугольника можно записать так: S=|(X₁-X₃)•(Y₂-Y₃)-(X₂-X₃)•(Y₁-Y₃)|/2.
2. Например, пусть даны такие координаты вершин треугольника на двухмерной плоскости: A(-2, 2), B(3, 3) и C(5, -2). Тогда, подставив числовые значения переменных в приведенную на предыдущем шаге формулу, вы получите: S=|(-2-5)•(3-(-2))-(3-5)•(2-(-2))|/2=|-7•5-(-2)•4|/2=|-35+8|/2=27/2=13,5 сантиметров.
3. Можно действовать по-другому - сначала вычислить длины всех сторон, а затем использовать формулу Герона, которая определяет площадь треугольника именно через длины его сторон. В этом случае сначала найдите длины сторон, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, составленного из самой стороны (гипотенуза) и проекций каждой стороны на оси координат (катеты). Если обозначить координаты вершин как A(X₁, Y₁), B(X₂, Y₂) и C(X₃, Y₃), то длины сторон будут следующими: AB=√((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²), BC=√((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²), CA=√((X₃-X₁)²+(Y₃-Y₁)²). Например, для координат вершин треугольника, приведенных на втором шаге, эти длины составят AB=√((-2-3)²+(2-3)²)=√((-5)²+(-1)²)=√(25+1)≈5,1, BC=√((3-5)²+(3-(-2))²)=√((-2)²)+5²)=√(4+25)≈5,36, CA=√((5-(-2))²+(-2-2)²)=√(7²+(-4)²)=√(49+16)≈8,06.
4. Найдите полупериметр, сложив известные теперь длины сторон и разделив результат на двойку: p=0,5•(√((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²)+√((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²)+√((X₃-X₁)²+(Y₃-Y₁)²)). Например, для длин сторон, рассчитанных на предыдущем шаге, полупериметр будет приблизительно равен p≈(5,1+5,36+8,06)/2≈9,26.
5. Рассчитайте площадь треугольника по формуле Герона S=√(p(p-AB)(p-BC)(p-CA)). Например, для образца из предыдущих шагов: S=√(9,26•(9,26-5,1)•(9,26-5,36)•(9,26-8,06))=√(9,26•4,16•3,9•1,2)=√180,28≈13,42. Как видите, результат на восемь сотых отличается от полученного на втором шаге - это результат округлений, использованных при расчетах на третьем, четвертом и пятом шагах.