Как исследовать непрерывность функции

Непрерывность - одно из основных свойств функций. Решение о том, непрерывна данная функция или нет, позволяет судить о других свойствах исследуемой функции. Поэтому так важно исследовать функции на непрерывность. В данной статье рассмотрены основные приемы исследования функций на непрерывность.

Инструкция

1. Итак, начнем с определения непрерывности. Оно гласит следующее:
   Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если
   lim f(x)=f(a)
   
   x->a
2. Разберемся, что это значит. Во-первых, если функция не определена в данной точке, то смысла говорить о непрерывности нет. Функция разрывна и точка. Например, всем известная f(x)=1/x не существует в нуле (делить на нуль ни в коем случае нельзя), вот и разрыв. Это же коснется и более сложных функций, в которые нельзя подставить некоторые значения.
3. Во-вторых, есть другой вариант. Если мы (или кто-то для нас) сочинил функцию из кусочков других функций. Например, такую:
   f(x)=x^2-4, x<-1
   
   3x, -1<=x<3
   
   5, x>=3
   В таком случае нам надо понять, она непрерывна или разрывна. Как это сделать?
4. Это вариант более сложный, так как требуется установить непрерывность на всей области определения функции. В данном случае областью определения функции является вся числовая ось. То есть от минус-бесконечности до плюс-бесконечности.
   Для начала воспользуемся определением непрерывности на промежутке. Вот оно:
   Функцию f (x) называют непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a; b) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b.
5. Итак, чтобы определить непрерывность нашей сложной функции, надо ответить для себя на несколько вопросов:
   1. Определены ли взятые функции на заданных интервалах?
   В нашем случае ответ положительный.
   Значит, точки разрыва могут быть лишь в точках смены функции. То есть в точках -1 и 3.
6. 2. Теперь нужно исследовать непрерывность функции в этих точках. Мы уже знаем, как это делается.
   Сперва нужно найти значения функции в этих точках: f(-1)=-3, f(3)=5 - функция определена в этих точках.
   Теперь нужно найти правый и левый пределы для этих точек.
   lim f(-1)=-3 (предел слева существует)
   
   x->-1-
   lim f(-1)=-3 (предел справа существует)
   
   x->-1+
   Как видим, правый и левый пределы для точки -1 совпадают. Значит, функция непрерывна в точке -1.
7. Проделаем то же самое для точки 3.
   lim f(3)=9 (предел существует)
   
   x->3-
   lim f(3)=5 (предел существует)
   
   x->3+
   А здесь пределы не совпадают. Это означает, что в точке 3 функция разрывна.
   Вот и все исследование. Желаем успехов!