Как определить потенциалы точек

Понятие потенциала нашло очень широкое распространение не только в науке и технике, но и в быту. Так напряжение в электрической сети – это разность потенциалов. Наиболее четко это понятие исследовано в теории поля, где оно возникает при изучении специальных полей, часть которых являются потенциальными.

Инструкция

1. Векторное поле образует векторная величина, заданная в виде функции точек поля М(x,y,z). Обозначается как F=F(M)=F(x,y,z) или F=i∙P(x,y,z)+j∙Q(x,y,z)+k∙R(x,y,z), где P, Q, R - координатные функции. Наибольшее применение векторные поля получили в теории электромагнитного поля.
2. Векторное поле называется потенциальным в некоторой области, если его можно представить в виде F(M)=grad(f(M)). При этом f(M)=f(x,y,z) называется скалярным потенциалом векторного поля. Если F(M)={P, Q, R}, то P=&partf/&partх, Q=&partf/&party, R=&partf/&partz. Известно, что для любой скалярной функции f ротор ее градиента rot(gradf)=0. Это равенство является необходимым и достаточным условием потенциальности F(M). Его можно перефразировать в виде:∂Q/∂х=∂P/∂y, ∂P/∂z=∂R/∂х, ∂R/∂y=∂Q/∂z.
3. Как определить bпотенциалы/b точек" class="colorbox imagefield imagefield-imagelink" rel="gallery-step-images"> Вычисление потенциала f потенциального поля F=i∙P(x,y,z)+j∙Q(x,y,z)+k∙R(x,y,z) производится на основе того, что в силу определения df= F∙dr (имеется в виду скалярное произведение). Тогда f=∫(Мо М) F∙dr=∫(Мо М)P∙dx+Q∙dy+R∙dz представляет собой криволинейный интеграл второго рода вдоль произвольной линии от Мо к переменной точке М. Проще всего использовать ломанную, отрезки которой параллельны координатным осям (условие потенциальности совпадает с условием независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования) (см. рис. 1).
4. Приступите к решению. Обозначьте x*, y*, z* координаты переменной точки на пути интегрирования. На отрезке МоА y*=yo, z*=zo, dy*=0, dz*=0 и ∫(Мо А) Fdr=∫(xо x)P(x*,yo,zo)∙dx*.На АВ x*=x, z*=zo, dx*=0, dz*=0 и ∫(А В) F∙dr=∫(yо y)Q(x,y*,zo)∙dy*.На ВМ x*=x, y*=y, dx*=0, dy*=0 и ∫(В М) F∙dr=∫(zо z)R(x,y,z*)∙dz*. Окончательно, f=∫(xо x)P(x*,yo,zo)∙dx*+∫(yо y)Q(x,y*,zo)∙dy*+∫(zо z)R(x,y,z*)∙dz*.
5. Пример. Дано векторное поле F(x,y,z)=(2x∙y+z)i + (x^2-2y)∙j+x∙k. Найти его потенциал в точке М(1,2,1). Решение. Проверьте, является ли заданное поле потенциальным. Для этого можно вычислить его ротор, но проще использовать равенства ∂Q/∂х=∂P/∂y, ∂P/∂z=∂R/∂х, ∂R/∂y=∂Q/∂z. Здесь P=2x∙y+z, Q=x^2-2y, R=x. ∂Q/∂х=2x, ∂P/∂y=2x – первое равенство выполнено. ∂P/∂z=1, ∂R/∂х=1 второе равенство выполнено. ∂R/∂y=0, ∂Q/∂z=0 – выполнено и третье равенство. Теперь вычислите потенциал, приняв за начальную точку (0,0,0) – это проще всего. f=∫(0 x)0∙dx*+∫(0 y)∙(x^2-y*)∙dy*+∫(0 z)∙x∙dz*=(x^2)∙y-y^2+x∙z. f(1,2,1)=-1.