Инструкция
1
Попробуйте избавиться от модулей в уравнении, основываясь непосредственно на определении модуля. Рассмотрите два случая, сравнивая подмодульное выражение с нулем. Каждый из вариантов представьте в виде системы, содержащей условие, выраженное неравенством, и уравнение с раскрытым соответственно условию модулем. Общее решение оформите в виде совокупности полученных систем.
2
Пусть, например, дано уравнение |f(x)| - k(x) = 0. Чтобы раскрыть модуль |f(x)|, надо рассмотреть два случая: f(x) ≥ 0 и f(x) ≤ 0. При выполнении первого условия |f(x)|=f(x), соблюдение же второго условия дает |f(x)|= -f(x). Итак, получается совокупность двух систем:f(x) ≥ 0,f(x) - k(x) = 0;f(x) ≤ 0,- f(x) - k(x) = 0.Решив обе эти системы и объединив полученные результаты, получите ответ. Кстати, решения систем могут пересекаться, это надо учитывать при записи ответа, чтобы не дублировать значения x, удовлетворяющие уравнению.
3
Теоретически, используя указанный выше способ, можно решить любое уравнение с модулями. Но если под модулями записаны простые выражения, целесообразно решать уравнение более коротким путем. Нарисуйте числовую прямую. Отметьте на ней все «нули» подмодульных выражений. Для нахождения «нулей» каждое из подмодульных выражений приравняйте нулю и для каждого из получившихся уравнений найдите x.
4
Так вы получите числовую прямую с отмеченными на ней точками. Они разбивают ее на несколько отрезков и лучей, на каждом из которых все выражения, стоящие под знаком модуля, постоянны по знаку. Теперь, определяя этот знак для каждого из подмодульных выражений, надо раскрыть модули.
5
Чтобы определить знак выражения, подставьте в него вместо x любую точку из заданного промежутка, не совпадающую ни с одним из его концов. Дальше осталось решить получившееся уравнение и выбрать те значения x, которые удовлетворяют рассматриваемому промежутку.
6
Пример: |x - 5| = 10.Подмодульное выражение обращается в нуль при x = 5. На числовой прямой можно дугами отметить лучи (-∞;5] и [5;+∞). На левом луче модуль раскрывается со знаком «минус», на правом − со знаком «плюс». Таким образом,x ≤ 5,- x + 5 = 10;x ≥ 5,x - 5 = 10.
7
Уравнение -x + 5 = 10 имеет своим решением x = -5. Это число подпадает под промежуток x ≤ 5, поэтому x = -5 пойдет в ответ. Решение уравнения x - 5 = 10: x = 15. Число 15 удовлетворяет неравенству x ≥ 5, поэтому x = 15 тоже идет в ответ. В конце решения необходимо записать ответ: x = -5, x = 15.