Как сделать свертку

Понятие свертки относится к операционному исчислению. Для того чтобы детально разобраться с данным вопросом, предварительно необходимо рассмотреть основные термины и обозначения, иначе понять тематику вопроса будет очень сложно.

Вам понадобится

• - бумага;
• - ручка.

Инструкция

1. Функция f(t), где t≥0, называется оригиналом, если: она кусочно-непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода. При t0, S0>0, S0 – рост оригинала).
   Каждому оригиналу можно поставить в соответствие функцию F(p) комплексного переменного значения р=s+iw, которая задается интегралом Лапласа (см. рис.1) или преобразованием Лапласа.
   
   Функция F(p) называется изображением оригинала f(t). Для всякого оригинала f(t) изображение существует и определено в полуплоскости комплексной плоскости Re(p)>S0, где S0 - показатель роста функции f(t).
   
2. Теперь рассмотрим понятие свертки.
   
   Определение. Сверткой двух функций f(t) и g(t), где t≥0, называется новая функция аргумента t, определяемая выражением (см. рис. 2)
   
   Операция получения свертки называется свертыванием функций. Для операции свертки функций выполняются все законы умножения. Например, операция свертки обладает свойством коммутативности, то есть свертка не зависит от порядка, в каком берутся функции f(t) и g(t)
   f(t)*g(t)= g(t)*f(t).
   
3. Пример 1. Вычислите свертку функций f(t) и g(t)=cos(t).
   t*cost=int(0-t)(scos(t-s)ds)
   
   Интегрируя выражение по частям: u=s, du=ds, dv=cos(t-s)ds, v=-sin(t-s), вы получите:
   (-s)sin(t-s)|(0-t)+int(0-t)(sin(t-s)ds=cos(t-s)|(0-s)=1-cos(t).
4. Теорема умножения изображений.
   
   Если оригинал f(t) имеет изображение F(p), а g(t) - G(p), то произведение изображений F(p)G(p) есть изображение свертки функций f(t)*g(t)= int(0-t)(f(s)g(t-s)ds), то есть для произведения изображений существует свертка оригиналов:
   F(p)G(p) =: f(t)*g(t).
   
   Теорема умножения позволяет находить оригинал, соответствующий произведению двух изображений F1(p) и F2(p), если известны оригиналы.
   
   Для этого существуют специальные и весьма обширные таблицы соответствия оригиналов и изображений. Эти таблицы имеются в любом математическом справочнике.
5. Пример 2. Найдите изображение свертки функций exp(t)*sin(t)= int(0-t)(exp(t-s)sin(s)ds).
   
   По таблице соответствия оригиналов и изображений оригиналу sin(t) := 1/(p^2+1), а exp(t) := 1/(p-1). Значит, соответствующее изображение будет иметь вид: 1/((p^2+1)(p-1)).
   
   Пример 3. Найдите (можно в интегральном виде) оригинал w(t), изображение которого имеет вид
   W(p)=1/(5(р-2))-(р+2)/(5(р^2+1), преобразовав это изображение в произведение W(p)=F(p)G(p).
   F(p)G(p)=(1/(p-2))(1/(p^2+1)). По таблицам соответствия оригиналов и изображений:
   1/(p-2) =: exp(2t), 1/(p^2+1) =: sin(t).
   
   Искомый оригинал w(t)=exp(2t)*sint=sint int(0-t)(exp(2(t-s))sin(s)ds), то есть (см. рис.3):